Algoritma pencarian biner

Sebuah algoritme pencarian biner (atau pemilahan biner) adalah sebuah teknik untuk menemukan nilai tertentu dalam sebuah larik (array) linear, dengan menghilangkan setengah data pada setiap langkah, dipakai secara luas tetapi tidak secara ekslusif dalam ilmu komputer. Sebuah pencarian biner mencari nilai tengah (median), melakukan sebuah pembandingan untuk menentukan apakah nilai yang dicari ada sebelum atau sesudahnya, kemudian mencari setengah sisanya dengan cara yang sama. Sebuah pencarian biner adalah salah satu contoh dari algoritme divide and conquer (atau lebih khusus algoritme decrease and conquer) dan sebuah pencarian dikotomi (lebih rinci di Algoritme pencarian).

Penerapan terbanyak dari pencarian biner adalah untuk mencari sebuah nilai tertentu dalam sebuah list terurut. Jika dibayangkan, pencarian biner dapat dilihat sebagai sebuah permainan tebak-tebakan, kita menebak sebuah bilangan, atau nomor tempat, dari daftar (list) nilai.

Pencarian diawali dengan memeriksa nilai yang ada pada posisi tengah list; oleh karena nilai-nilainya terurut, kita mengetahui apakah nilai terletak sebelum atau sesudah nilai yang di tengah tersebut, dan pencarian selanjutnya dilakukan terhadap setengah bagian dengan cara yang sama. Berikut ini adalah pseudocode sederhana yang menentukan indeks (posisi) dari nilai yang diberikan dalam sebuah list berurut, a berada antara left dan right:

function binarySearch(a, value, left, right)
    if right < left
        return not found
    mid:= floor((right-left)/2)+left
    if a[mid] = value
        return mid
    if value < a[mid]
        return binarySearch(a, value, left, mid-1)
    else
        return binarySearch(a, value, mid+1, right)

Karena pemanggilan fungsi di atas adalah rekursif ekor, fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai sebuah pengulangan (loop), hasilnya adalah algoritme in-place:

function binarySearch(a, value, left, right)
    while left ≤ right
        mid:= floor((right-left)/2)+left
        if a[mid] = value
            return mid
        if value < a[mid]
            right:= mid-1
        else
            left:= mid+1
    return not found

Pada kedua kasus, algoritme akan berakhir karena paa setiap pemanggilan rekursif atau pengulangan, jangkauan indeks right dikurang left akan selalu mengecil, dan akhirnya pasti akan menjadi negatif.

Pencarian biner adalah sebuah algoritme logaritmik dan bekerja dalam waktu O(log n). Secara khusus, ${\displaystyle 1+log_{2}N}$ pengulangan yang diperlukan untuk menghasilkan jawaban. Hal ini dianggap lebih cepat dibandingkan sebuah pencarian linear. Pencarian biner dapat diimplementasikan dengan rekursi atau iterasi, seperti yang terlihat di atas, walaupun pada kebanyakan bahasa pemrograman akan lebih elegan bila dinyatakan secara rekursif.

Sebuah contoh aksi pencarian biner adalah sebuah permainan tebak-tebakan dimana seorang pemain harus menebak sebuah bilangan bulat positif yang dipilih oleh pemain lain di antara 1 dan N, dengan memanfaatkan jawaban pertanyaan berupa ya dan tidak. Misalnya N adalah 16 dan angka yang dipilih adalah 11, permainan dapat berjalan sebagai berikut.

• Apakah angka lebih besar dari 8? (Ya)
• Apakah angka lebih besar dari 12? (Tidak)
• Apakah angka lebih besar dari 10? (Ya)
• Apakah angka lebih besar dari 11? (Tidak)

Sehingga, angka tersebut pasti 11. Pada setiap langkah, kita memilih sebuah angka yang tepat berada di tengah-tengah jangkauan nilai-nilai yang mungkin. Sebagai contoh, saat kita mengetahui angka tersebut lebih besar dari 8, tetapi lebih kecil atau sama dengan 12, kita mengetahui untuk memilih angka di tengah-tengah jangkauan [9, 12] (pada kasus ini 10 adalah yang optimal).

Paling banyak ada ${\displaystyle \lceil \log _{2}N\rceil }$ pertanyaan yang dibutuhkan untuk mendapatkan angka tersebut, karena setiap pertanyaan menghilangkan setengah dari ruang pencarian. Sebagai catatan bahwa dibutuhkan kurang dari satu pertanyaan (iterasi) untuk algoritme umum, karena angka tersebut dibatasi oleh sebuah jangkauan tertentu.

Walaupun angka yang kita tebak sangat banyak, pada kasus tidak ada batas atas N, kita masih dapat menemukan angka paling banyak dalam ${\displaystyle 2\lceil \log _{2}k\rceil }$ langkah (dimana k adalah angka yang dipilih (yang tidak diketahui)), caranya adalah dengan pertama-tama menemukan sebuah batas atas dengan melipatduakannya. Sebaai contoh, jika angka tersebut adalah 11, kita dapat menggunakan urutan tebakan sebagai berikut untuk menemukannya:

• Apakah angka lebih besar dari 1? (Ya)
• Apakah angka lebih besar dari 2? (Ya)
• Apakah angka lebih besar dari 4? (Ya)
• Apakah angka lebih besar dari 8? (Ya)
• Apakah angka lebih besar dari 16? (Tidak, N=16, lakukan seperti di atas)

(Kita mengetahui angka tersebut lebih besar dari 8)

• Apakah angka lebih besar dari 12? (Tidak)
• Apakah angka lebih besar dari 10? (Ya)
• Apakah angka lebih besar dari 11? (Tidak)

Satu penerapan sederhan, pada sistem kendali revisi, dimungkinkan memanfaatkan sebuah pencarian biner untuk melihat pada revisi mana sebuah cuplikan isi ditambahkan ke sebuah file. Dengan mudah kita lakukan sebuah pencarian biner terhadap seluruh history versi; jika isi tidak ada dalam suatu versi, suatu saat kemudian pasti akan muncul, dan jika ada pasti muncul di versi tersebut atau versi berikutnya. Cara ini lebih cepat dibandingkan dengan memeriksa setiap perbedaan antar versi.

Ada beberapa hal yang tidak terkait dengan komputer dimana sebuah pemilahan biner adalah cara tercepat untuk mengisolasi sebuah solusi yang dicari. Pada pemecahan sebuah permasalah dengan banyak kemungkinan penyebab, kita dapat mengubah setengah sangkaan, kita lihat apakah permasalahan masih terjadi dan tentukan bagian setengah berikutnya; ubah setengah sangkaan sisanya, dan seterusnya.

Contoh nyata lainnya: pada satu revisi di antara 500 revisi terakhir, sebuah paragraf penting terhapus dari sebuah artikel Wikipedia—pertanyaanya di revisi mana? Kita menghadapai paling banyak 500 opersi pembandingan, atau 9 pembandingan dengan pemilahan biner (2 pangkat 9, yaitu 512).

Seandainya kita tidak mengetahui sebuah jangkauan yang tetap tempat dari bilangan kberada, kita masih dapat menentukan nilainya dengan mengajukan ${\displaystyle 2\lceil \log _{2}k\rceil }$ pertanyaan ya/tidak dalam bentuk "Apakah k lebih besar dari x?" untuk beberapa bilangan x. Sebagai konsekuensi sederhana dari cara ini, jika kita dapat menjawab pertanyaan "Apakah nilai bilangan bulat k lebih besar dari nilai yang diberikan?" pada suatu waktu kemudian kita dapat menemukan nilai dari bilangan tersebut sama lamanya ditambah dengan faktor log k. Hal ini disebut sebuah reduksi, dan karena disebabkan reduksi ini maka kebanyakan teoris kompleksitas berkonsentrasi pada permasalahan keputusan, algoritme-algoritme yang mengasihlan jawaban sederhana berupa ya/tidak.

Sebagai contoh, anggap kita dapat menjawab "Apakah matriks n x n ini memiliki determinan lebih besar dari k?" dalam waktu O(n²). Kemudian, dengan memanfaatkan pencarian biner, kita dapat menemukan (batas atas) determinan tersebut dalam waktu O(n²log d), dimana d adalah determinan; sebagai catatan, d bukanlah ukuran dari masukan tetapi ukuran dari keluaran.

• Pencarian biner seragam
• Notasi O besar

• NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures: binary search
• Tim Bray. On the Goodness of Binary Search. A short essay on the advantages of binary search and some Java sample code.
• Sparknotes: Binary search. Simplified overview of binary search.
• Mathworld: Binary search

• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89685-0. Section 6.2.1: Searching an Ordered Table, pp.409–426.