Bilangan poligonal

Dalam matematika, bilangan poligonal adalah bilangan yang menghitung jumlah titik yang dapat disusun dalam bentuk poligon beraturan. Bilangan ini adalah salah satu jenis bilangan bergambar dua dimensi.

Misalnya, 10 titik dapat disusun sebagai segitiga. Maka, 10 dikatakan sebagai bilangan poligonal dengan jumlah poligon adalah 3 (lihat bilangan segitiga).

Namun, 10 titik tidak dapat disusun sebagai persegi. Sebaliknya, 9 titik dapat disusun sebagai persegi, seperti di bawah (lihat bilangan persegi).

Daftar ini tidak eksklusif. Beberapa bilangan dapat masuk dalam beberapa daftar bilangan. Misalnya, 36 titik dapat disusun menjadi persegi dan segitiga. Artinya, 36 termasuk dalam bilangan persegi dan segitiga (lihat bilangan persegi segitiga).

Menurut kesepakatan, 1 adalah bilangan poligonal pertama untuk seluruh jumlah sisi. Aturan untuk memperbesar poligon adalah dengan memperpanjang sisi bersebelahan satu poin dan menambahkan sisi di antara dua poin tersebut. Dalam diagram-diagram di bawah, tambahan lapisan ditandai dengan titik merah.

Poligon dengan jumlah sisi yang lebih banyak, misalnya pentagon dan heksagon, dapat juga dibuat dengan aturan di atas, namun titik-titiknya tidak lagi memiliki kisi-kisi sempurna seperti di atas.

Jika ${\displaystyle s}$ adalah jumlah sisi dalam poligon, rumus bilangan ${\displaystyle s}$-gonal ke-${\displaystyle n}$, P(s,n), adalah

${\displaystyle P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}}$

atau

${\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n}$

Bilangan ${\displaystyle s}$-gonal ke-n juga berhubungan dengan bilangan segitiga T_n sebagai berikut:^[1]

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$

Dengan demikian:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}}$

Untuk bilangan ${\displaystyle s}$-gonal tertentu dengan P(s,n) = x, n dapat dicari dengan cara:

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}}$

dan dapat mencari ${\displaystyle s}$ dengan cara:

${\displaystyle s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}}$ .

Dengan menerapkan rumus di atas:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n}$

dengan kasus 6 sisi (${\displaystyle s=6}$), maka:

${\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n}$

namun karena:

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

maka:

${\displaystyle P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}}$

Hal ini menunjukkan bahwa bilangan heksagonal ke-${\displaystyle n}$ atau ${\displaystyle P(6,n)}$ juga merupakan bilangan segitiga ke-${\displaystyle (2n-1)}$ atau ${\displaystyle T_{2n-1}}$ . Bilangan heksagonal dapat dicari dengan mengambil bilangan segitiga ganjil: ^[1]

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

• Bilangan poligonal terpusat
• Bilangan polihedral
• Teorema bilangan poligonal Fermat

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) ISBN 0-14-026149-4.
• Bilangan poligonal di PlanetMath
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Polygonal Number". MathWorld. 
• F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd ed.). Oxford University Press. pp. 88-89. ISBN 0-19-914-567-9.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Polygonal number", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337
• Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid di YouTube
• Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853