Contoh grup

Beberapa dasar contoh grup dalam matematika diberikan pada grup. Contoh lebih lanjut tercantum di sini.

Permutasi dari satu himpunan tiga elemen

Andaikan tiga blok berwarna (merah, hijau, dan biru), awalnya ditempatkan dalam urutan $\mathrm {RGB}$ . Misalkan $a$ adalah operasi "tukar blok pertama dan blok kedua", dan $b$ adalah operasi "tukar blok kedua dan blok ketiga".

Kita dapat menulis $xy$ untuk operasi "pertama $y$ , lalu $x$ "; sehingga $ab$ adalah operasi $\mathrm {RGB} \to \mathrm {RBG} \to \mathrm {BRG}$ , yang dapat digambarkan sebagai "pindahkan dua blok pertama satu posisi ke kanan dan letakkan blok ketiga di posisi pertama". Jika kita menulis $e$ untuk "misalkan blok apa adanya" (operasi identitas), maka kita dapat menulis enam permutasi dari tiga blok sebagai berikut:

$e\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {RGB}$
$a\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {GRB}$
$b\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {RBG}$
$ab\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {BRG}$
$ba\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {GBR}$
$aba\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {BGR}$

Perhatikan bahwa $aa$ memiliki efek $\mathrm {RGB} \to \mathrm {GRB} \to \mathrm {RGB}$ ; agar kita dapat menulis $aa=e$ . Demikian pula, $bb=(aba)(aba)=e$ ; $(ab)(ba)=(ba)(ab)=e$ ; jadi setiap elemen memiliki kebalikan.

Dengan inspeksi, kita dapat menentukan asosiatif dan ketertutupan; perhatikan secara khusus bahwa $(ba)b=bab=b(ab)$ .

Karena hal tersebut dibangun dari operasi dasar $a$ dan $b$ , kita katakan bahwa himpunan $\{a,b\}$ membangkit grup ini. Grup yang disebut grup simetrik $S_{3}$ , memiliki tingkat 6, dan takabelian (karena, misalnya, $ab\neq ba$ ).

Grup bidang translasi

Translasi bidang adalah gerakan kaku dari setiap titik bidang untuk jarak tertentu ke arah tertentu.. Misalnya "bergerak ke arah Timur Laut-Timur sejauh 2 mil" adalah translasi dari bidang. Dua translasi seperti $a$ dan $b$ dapat disusun untuk membentuk translasi baru $a\circ b$ sebagai berikut: pertama ikuti resep $b$ , lalu $a$ . Misalnya, jika

a={\text{bergerak ke Timur Laut sejauh 3 mil}}

dan

b={\text{bergerak ke Tenggara sejauh 4 mil}}

maka

a\circ b={\text{bergerak ke Timur sejauh 5 mil}}

(lihat Teorema Pythagoras mengapa demikian, secara geometris).

Himpunan semua translasi bidang dengan komposisi sebagai operasi membentuk grup:

Jika $a$ dan $b$ adalah translasi, maka $a\circ b$ juga merupakan translasi.
Komposisi translasi bersifat asosiatif: $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ .
Elemen identitas untuk grup ini adalah translasi dengan resep "bergerak nol mil ke arah yang diinginkan".
Kebalikan dari translasi diberikan dengan berjalan ke arah yang berlawanan untuk jarak yang sama.

Ini adalah grup abelian dan contoh pertama kita (tidak terpisah) dari grup Lie: grup yang juga merupakan manifold.

Grup simetri persegi: grup dihedral dengan urutan 8

$\mathrm {Dih} _{4}$ sebagai grup titik dua dimensi, $\mathrm {D} _{4}$ , $[4]$ , $(^{*}4\bullet )$ , urutan 4, dengan rotasi 4 kali lipat dan pembangkit cermin.	$\mathrm {Dih} _{4}$ dalam grup dihedral 3D, $\mathrm {D} _{4}$ , $[4,2]^{+}$ , $422$ , urutan 4, dengan pembangkit rotasi 4 kali lipat vertikal urutan 4, dan pembangkit horizontal 2 kali lipat

Grup sangat penting untuk mendeskripsikan simetri objek, baik itu geometris (seperti tetrahedron) atau aljabar (seperti kumpulan persamaan). Sebagai contoh, kita menganggap kotak kaca dengan ketebalan tertentu (dengan huruf "F" tertulis di atasnya, hanya untuk membuat posisi yang berbeda dapat didiskriminasi).

Untuk mendeskripsikan simetrinya, kita membentuk himpunan dari semua gerakan kaku persegi yang tidak membuat perbedaan terlihat (kecuali "F"). Misalnya, jika sebuah objek berputar $90^{\circ }$ searah jarum jam masih terlihat sama, gerakan adalah salah satu elemen dari himpunan, misalnya $a$ . Kita juga dapat membaliknya secara horizontal sehingga bagian bawahnya menjadi sisi atas, sedangkan tepi kiri menjadi tepi kanan. Sekali lagi, setelah melakukan gerakan ini, bujur sangkar kaca terlihat sama, jadi ini juga merupakan elemen himpunan kita dan kita menyebutnya $b$ .Gerakan yang tidak melakukan apa-apa dilambangkan dengan $e$ .

Diberikan dua gerakan seperti $x$ dan $y$ , dimungkinkan untuk menentukan komposisi $x\circ y$ seperti di atas: pertama dilakukan gerakan y , diikuti gerakan $x$ . Hasilnya akan meninggalkan lempengan seperti sebelumnya.

Intinya adalah bahwa himpunan semua gerakan itu, dengan komposisi sebagai operasi, membentuk sebuah grup. Grup ini adalah deskripsi paling ringkas dari simetri bujur sangkar. Para ahli kimia menggunakan grup simetri jenis ini untuk menggambarkan simetri kristal dan molekul.

Menghasilkan grup

Mari selidiki lagi grup simetri persegi kita. Saat ini, kita memiliki elemen $a$ , $b$ dan $e$ , tetapi kita dapat dengan mudah membentuk lebih banyak: misalnya $a\circ a$ , juga ditulis sebagai $a^{2}$ , berbelok $180^{\circ }$ derajat. $a^{3}$ adalah rotasi $270^{\circ }$ searah jarum jam (atau $90^{\circ }$ berlawanan arah jarum jam). Kita juga melihat bahwa $b^{2}=e$ dan juga $a^{4}=e$ . Ini yang menarik: apa yang dilakukan $a\circ b$ ? Pertama, dibalik secara horizontal, lalu putar. Cobalah untuk memvisualisasikan bahwa $a\circ b=b\circ a^{3}$ . Juga, $a^{2}\circ b$ adalah pembalik vertikal dan sama dengan $b\circ a^{2}$ .

Kita mengatakan bahwa elemen $a$ dan $b$ menghasilkan grup.

Grup urutan 8 ini memiliki tabel Cayley berikut:

^o	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
e	e	b	a	a²	a³	ab	a²b	a³b
b	b	e	a³b	a²b	ab	a³	a²	a
a	a	ab	a²	a³	e	a²b	a³b	b
a²	a²	a²b	a³	e	a	a³b	b	ab
a³	a³	a³b	e	a	a²	b	ab	a²b
ab	ab	a	b	a³b	a²b	e	a³	a²
a²b	a²b	a²	ab	b	a³b	a	e	a³
a³b	a³b	a³	a²b	ab	b	a²	a	e

Untuk dua elemen dalam grup, tabel mencatat komposisi mereka.

Dimana " $a^{3}b$ " sebagai singkatan dari $a^{3}\circ b$ .

Dalam matematika, grup ini dikenal sebagai grup dihedral dengan urutan 8, dan juga dilambangkan $\mathrm {Dih} _{4}$ , $\mathrm {D} _{4}$ atau $\mathrm {D} _{8}$ , tergantung pada konvensi. Ini adalah contoh grup takabelian: operasi $\circ$ di sini bukan komutatif, yang bisa dilihat dari tabel; tabel taksimetris dengan diagonal utama.

Subgrup normal

Versi tabel Cayley ini menunjukkan bahwa grup ini memiliki satu subgrup normal yang ditampilkan dengan latar belakang merah. Dalam tabel ini $r$ berarti rotasi, dan $f$ berarti membalik. Karena subgrupnya normal, kohimpunan kiri sama dengan koset kanan.

Tabel grup pada D₄
	e	r₁	r₂	r₃	f_v	f_h	f_d	f_c
e	e	r₁	r₂	r₃	f_v	f_h	f_d	f_c
r₁	r₁	r₂	r₃	e	f_c	f_d	f_v	f_h
r₂	r₂	r₃	e	r₁	f_h	f_v	f_c	f_d
r₃	r₃	e	r₁	r₂	f_d	f_c	f_h	f_v
f_v	f_v	f_d	f_h	f_c	e	r₂	r₁	r₃
f_h	f_h	f_c	f_v	f_d	r₂	e	r₃	r₁
f_d	f_d	f_h	f_c	f_v	r₃	r₁	e	r₂
f_c	f_c	f_v	f_d	f_h	r₁	r₃	r₂	e
Elemen e, r₁, r₂, dan r₃ membentuk subgrup, disorot di merah (wilayah kiri atas). Coset kiri dan kanan subgrup ini disorot di hijau (di baris terakhir) dan kuning (kolom terakhir), masing-masing.

Grup bebas pada dua pembangkit

Grup bebas dengan dua pembangkit a dan b terdiri dari semua pita hingga yang dapat dibentuk dari empat simbol a, a⁻¹, b dan b⁻¹ sedemikian rupa sehingga tidak ada a yang muncul tepat di sebelah a⁻¹ dan tidak ada b yang muncul tepat di sebelah a b⁻¹. Dua string tersebut dapat digabungkan dan diubah menjadi string jenis ini dengan berulang kali mengganti substring "terlarang" dengan string kosong. Misalnya: "abab⁻¹a⁻¹" concatenated with "abab⁻¹a" yields "abab⁻¹a⁻¹abab⁻¹a", yang direduksi menjadi "abaab⁻¹a". Seseorang dapat memeriksa bahwa himpunan string tersebut dengan operasi ini membentuk grup dengan elemen netral string kosong ε: = "". (Biasanya tanda petik tidak ada; inilah mengapa simbol ε! Adalah yg dibutuhkan)

Ini adalah grup takabelian tak terbatas lainnya.

Grup bebas penting dalam topologi aljabar; grup bebas dalam dua pembangkit juga digunakan untuk membuktikan paradoks Banach–Tarski.