Elips

Dalam matematika, sebuah elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Dalam bahasa Indonesia, selain istilah elips atau oval yang beraturan, juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang.

Elips dapat didefinisikan secara geometris sebagai satu set atau lokus titik dalam bidang Euclidean:

Diberi dua poin tetap ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ disebut fokus dan jarak ${\displaystyle 2a}$ yang lebih besar dari jarak antara fokus, elips adalah himpunan poin ${\displaystyle P}$ sedemikian rupa sehingga jumlah dari jarak ${\displaystyle |PF_{1}|,\ |PF_{2}|}$ adalah sama dengan ${\displaystyle 2a}$:${\displaystyle E=\{P\in \mathbb {R} ^{2}\,\mid \,|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a\}\ .}$

Titik tengah ${\displaystyle C}$ dari segmen garis yang bergabung dengan fokus disebut pusat elips. Garis melalui fokus disebut sumbu utama , dan garis tegak lurus melalui pusat adalah sumbu minor . Sumbu utama memotong elips pada titik- titik simpul ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$, yang memiliki jarak ${\displaystyle a}$ ke pusat. Jarak ${\displaystyle c}$ dari fokus ke pusat disebut jarak fokus atau eksentrisitas linier. Hasil bagi ${\displaystyle e={\tfrac {c}{a}}}$ adalah eksentrisitas .

Kasus ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$ dapat dilihat dengan cara yang berbeda (lihat gambar):

Jika ${\displaystyle c_{2}}$ adalah lingkaran dengan titik tengah ${\displaystyle 2a}$, maka jarak suatu titik ${\displaystyle P}$ ke lingkaran ${\displaystyle c_{2}}$ sama dengan jarak ke fokus ${\displaystyle F_{1}}$:

${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$

${\displaystyle c_{2}}$ disebut directrix melingkar (terkait dengan fokus ${\displaystyle F_{2}}$) of the ellipse.^[1][2] Properti ini tidak boleh disamakan dengan definisi elips menggunakan garis directrix di bawah ini.

Dengan menggunakan bola Dandelin , orang dapat membuktikan bahwa setiap bagian bidang kerucut dengan bidang adalah elips, dengan asumsi bidang tidak mengandung puncak dan memiliki kemiringan kurang dari garis pada kerucut.

Bentuk standar elips dalam koordinat Cartesian mengasumsikan bahwa asal adalah pusat elips, x- sumbu adalah sumbu utama, dan:

fokus adalah poinnya

${\displaystyle F_{1}=(c,\,0),\ F_{2}=(-c,\,0)}$,

simpulnya adalah ${\displaystyle V_{1}=(a,\,0),\ V_{2}=(-a,\,0)}$.

Untuk titik arbitrer ${\displaystyle (x,y)}$ jarak ke fokus ${\displaystyle (c,0)}$ adalah ${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ dan ke fokus lainnya ${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$. Karena itu intinya ${\displaystyle (x,\,y)}$ is on the ellipse whenever:

${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a\ .}$

Menghapus radikal dengan squarings yang sesuai dan menggunakan ${\displaystyle b^{2}=a^{2}-c^{2}}$ menghasilkan persamaan standar elips:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

atau, memecahkan y:

${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}$

Keliling lebar dan tinggi ${\displaystyle a,\;b}$ disebut sumbu semi mayor dan semi minor . Poin atas dan bawah ${\displaystyle V_{3}=(0,\,b),\;V_{4}=(0,\,-b)}$

Ini mengikuti dari persamaan bahwa elips simetris sehubungan dengan sumbu koordinat dan karenanya sehubungan dengan asal.

Sepanjang artikel ini ${\displaystyle a}$ Sebuah adalah sumbu semi-mayor, yaitu ${\displaystyle a\geq b>0\ .}$ Secara umum persamaan elips kanonik ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ mungkin ${\displaystyle a<b}$ (dan karenanya elips akan lebih tinggi daripada lebar); dalam bentuk ini sumbu semi-mayor akan menjadi ${\displaystyle b}$. Formulir ini dapat dikonversi ke formulir standar dengan mentransposisi nama variabel

Ini adalah jarak dari pusat ke fokus: ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$.

Eksentrisitas dapat dinyatakan sebagai:

${\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}$,

Panjang akord melalui satu fokus, tegak lurus terhadap sumbu utama, disebut rektum latus . Separuh di antaranya adalah rektum semi-latus ${\displaystyle \ell }$ Perhitungan menunjukkan:

${\displaystyle \ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).}$^[3]

Garis arbitrer ${\displaystyle g}$ memotong sebuah elips pada 0, 1, atau 2 poin, masing-masing disebut garis eksterior , garis singgung dan garis potong . Melalui setiap titik elips ada garis singgung yang unik. Garis singgung pada suatu titik ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ dari elips ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ memiliki persamaan koordinat:

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.}$

Persamaan parametrik vektor garis singgung adalah:

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}\;\!-y_{1}a^{2}\\\;\ \ \ x_{1}b^{2}\end{pmatrix}}\ }$ with ${\displaystyle \ s\in \mathbb {R} \ .}$

Bukti: Biarkan ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$ be a point on an ellipse and ${\textstyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}}$ menjadi persamaan garis apa pun ${\displaystyle g}$ mengandung ${\displaystyle (x_{1},\,y_{1})}$. Memasukkan persamaan garis ke dalam persamaan elips dan menghormati ${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1}$ yields:

${\displaystyle {\frac {\left(x_{1}+su\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+sv\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ \quad \Longrightarrow \quad 2s\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+s^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)=0\ .}$

Jika elips standar digeser untuk memiliki pusat ${\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}$, persamaannya adalah

${\displaystyle {\frac {\left(x-x_{\circ }\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{\circ }\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

Sumbu masih sejajar dengan sumbu x dan y.

Luas elips adalah ${\displaystyle L=\pi ab}$

Keliling elips adalah

Keliling I

${\displaystyle K\approx 2\pi {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}}$

Keliling II (model Ramanujan)

${\displaystyle K\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3(a^{2}+b^{2})}}\right]}$

dan

${\displaystyle K\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right)}$ di mana ${\displaystyle h={\frac {(a-b)^{2}}{(a+b)^{2}}}}$

Keliling III (model integral)

${\displaystyle K=2\pi a\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {e^{2n}}{2n-1}}\right]}$

dan

${\displaystyle K=\pi (a+b)\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{2^{n}n!}}\right)^{2}{\frac {h^{n}}{(2n-1)^{2}}}\right]}$

• Elipsoid

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Ellipses.

• Elips (matematika) di Encyclopædia Britannica
• Elips di PlanetMath.org
• The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C. oleh Clark Kimberling