Fungsi aljabar

Dalam matematika, fungsi aljabar adalah fungsi yang bisa didefinisikan sebagai akar dari sebuah persamaan aljabar. Fungsi aljabar merupakan ekspresi aljabar menggunakan sejumlah suku terbatas, yang melibatkan operasi aljabar seperti penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan peningkatan menjadi pangkat pecahan. Contoh dari fungsi tersebut adalah:

• ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

Beberapa fungsi aljabar, tidak dapat diekspresikan oleh ekspresi berhingga (Teorema Abel–Ruffin)). Misalnya, fungsi secara implisit yang dapat didefinisikan oleh:

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$.

Dalam istilah yang lebih tepat, fungsi aljabar derajat n dalam satu variabel x adalah sebuah fungsi ${\displaystyle y=f(x),}$ yaitu kontinu dalam domain dan memenuhi persamaan aljabar

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

dimana koefisien a_i(x) adalah fungsi polinomial dari x , dengan koefisien integer. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi yang sama diperoleh jika bilangan aljabar diterima untuk koefisien a_i(x). Jika bilangan transendental muncul dalam koefisien, fungsinya secara umum bukan aljabar, tetapi ini adalah "aljabar di atas bidang yang dihasilkan oleh koefisien ini.

Nilai fungsi aljabar pada bilangan rasional, dan lebih umum lagi, pada bilangan aljabar selalu berupa bilangan aljabar. Terkadang, koefisien ${\displaystyle a_{i}(x)}$ pada polinomial di atas gelanggang R dianggap, dan kemudian berbicara tentang "fungsi aljabar di atas R".

Sebuah fungsi yang bukan aljabar disebut fungsi transendental, seperti pada contoh kasus ${\displaystyle \exp(x),\tan(x),\ln(x),\Gamma (x)}$. Komposisi fungsi transendental dapat memberikan fungsi aljabar: ${\displaystyle f(x)=\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Karena persamaan polinomial derajat n memiliki hingga akar n (dan tepat n akar di atas bidang tertutup aljabar, seperti bilangan kompleks), persamaan polinomial tidak secara implisit mendefinisikan fungsi tunggal, tetapi hingga n fungsi, terkadang juga disebut cabang. Pertimbangkan misalnya persamaan dari satuan lingkaran: ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=1.\,}$ Ini menentukan y, kecuali sampai tanda keseluruhan; karenanya, ia mempunyai 2 cabang:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

Fungsi aljabar dalam variabel m juga didefinisikan sebagai fungsi ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{m})}$ yang memecahkan persamaan polinomial dalam variabel m + 1:

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.}$

Biasanya diasumsikan bahwa p harus berupa polinomial tak tersederhanakan. Keberadaan fungsi aljabar kemudian dijamin oleh teorema fungsi implisit.

Secara umum, fungsi aljabar dalam variabel m di atas bidang K adalah elemen dari penutupan aljabar dari bidang fungsi rasional K(x₁, ..., x_m).

Definisi informal dari fungsi aljabar memberikan sejumlah petunjuk tentang propertinya. Untuk memperoleh pemahaman intuitif, mungkin berguna untuk menganggap fungsi aljabar sebagai fungsi yang dapat dibentuk oleh operasi aljabar biasa: penjumlahan, perkalian, Pembagian, dan ekspresi radikal. Ini adalah penyederhanaan yang berlebihan; karena teorema fundamental teori Galois, fungsi aljabar tidak perlu dinyatakan dengan akar.

Pertama, perhatikan bahwa fungsi polinomial ${\displaystyle y=p(x)}$ adalah fungsi aljabar, karena ini hanyalah solusi y dari persamaan

${\displaystyle y-p(x)=0.\,}$

Secara lebih umum, fungsi rasional ${\displaystyle y={\frac {p(x)}{q(x)}}}$ adalah aljabar, menjadi solusi untuk

${\displaystyle q(x)y-p(x)=0.}$

Selain itu, ekspresi radikal dari polinomial apa pun ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$ adalah fungsi aljabar, menyelesaikan persamaan

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

Anehnya, fungsi invers dari suatu fungsi aljabar adalah fungsi aljabar. Untuk mengandaikan bahwa y adalah solusi untuk

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

untuk setiap nilai x , maka x juga merupakan solusi dari persamaan ini untuk setiap nilai y . Memang, menukar peran x dan y dan mengumpulkan istilah,

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

Menulis x sebagai fungsi dari y menghasilkan fungsi invers, juga fungsi aljabar.

Namun, tidak setiap fungsi memiliki kebalikan. Sebagai contoh, y = x² gagal uji garis horizontal hasilnya tidak berhasil pada satu-ke-satu. Kebalikannya adalah "fungsi" aljabar ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$. Cara lain untuk memahami ini, adalah bahwa himpunan dari cabang persamaan polinomial yang mendefinisikan fungsi aljabar kita adalah grafik kurva aljabar.

Dari perspektif aljabar, bilangan kompleks masuk secara alami ke dalam studi fungsi aljabar. Pertama-tama, menurut teorema fundamental aljabar, bilangan kompleks adalah bidang tertutup aljabar. Karenanya setiap hubungan polinomial p(y, x) = 0 dijamin memiliki setidaknya satu solusi (dan secara umum sejumlah solusi tidak melebihi derajat p dalam y ) untuk y di setiap titik x , asalkan kita mengizinkan y untuk mengasumsikan kompleks serta nilai nyata. Dengan demikian, masalah yang berkaitan dengan domain dari suatu fungsi aljabar dapat diminimalkan dengan aman.

Lebih jauh, bahkan jika seseorang pada akhirnya tertarik pada fungsi aljabar yang sebenarnya, mungkin tidak ada cara untuk menyatakan fungsi tersebut dalam istilah penjumlahan, perkalian, pembagian dan pengambilan akar n tanpa menggunakan bilangan kompleks (lihat casus irreducibilis). Misalnya, perhatikan fungsi aljabar yang ditentukan oleh persamaan

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

Menggunakan rumus kubik, kita dapatkan

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

Untuk ${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$ akar kuadrat adalah nyata dan akar kubik didefinisikan dengan baik, memberikan akar nyata yang unik. Di sisi lain, untuk ${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$ akar kuadrat tidak nyata, dan kita harus memilih, untuk akar kuadrat, akar kuadrat non-nyata. Jadi akar kubik harus dipilih di antara tiga bilangan non-riil. Jika pilihan yang sama dilakukan dalam dua suku rumus, ketiga pilihan akar kubik menyediakan tiga cabang yang ditunjukkan, pada gambar yang menyertai.

Dapat dibuktikan bahwa tidak ada cara untuk mengekspresikan fungsi ini dalam istilah akar nth hanya dengan menggunakan bilangan real, meskipun fungsi yang dihasilkan bernilai nyata pada domain grafik yang ditampilkan.

Pada tingkat teoritis yang lebih signifikan, menggunakan bilangan kompleks memungkinkan seseorang untuk menggunakan teknik yang kuat analisis kompleks untuk membahas fungsi aljabar. Secara khusus, prinsip argumen dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa fungsi aljabar apa pun sebenarnya adalah fungsi analitis, setidaknya dalam arti multi-nilai.

Secara formal, maka p(x, y) menjadi polinomial kompleks dalam variabel kompleks x dan y . Seandainya x₀ ∈ C sedemikian rupa sehingga polinomial p(x₀, y) of y has n angka nol yang berbeda. Kita akan menunjukkan bahwa fungsi aljabar adalah analitik dalam lingkungan dari x₀. Pilih sistem cakram n yang tidak tumpang tindih Δ_i berisi masing-masing angka nol ini. Kemudian dengan prinsip argumentasi

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}$

Dengan kontinuitas, ini juga berlaku untuk semua x di sekitar x₀. Secara khusus, p ( x , y ) hanya memiliki satu root Δ_i, diberikan oleh teorema residu:

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}$

yang merupakan fungsi analitik.

Gagasan seputar fungsi aljabar kembali setidaknya sejauh René Descartes. Diskusi pertama tentang fungsi aljabar tampaknya terjadi di Edward Waring tahun 1794 An Essay on the Principles of Human Knowledge di mana dia menulis:

jik kuantitas yang menunjukkan ordinat, menjadi fungsi aljabar dari absis x , dengan metode umum pembagian dan ekstraksi akar, menguranginya menjadi deret tak berhingga menaik atau menurun menurut dimensi x , kemudian mencari integral dari masing-masing yang dihasilkan.

• Ekspresi aljabar
• Fungsi analitik
• Fungsi kompleks
• Fungsi dasar
• Fungsi (matematika)
• Fungsi umum
• Daftar fungsi khusus dan eponim
• Daftar jenis fungsi
• Polinomial
• Fungsi rasional
• Fungsi khusus
• Fungsi transendental

• Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill. 
• van der Waerden, B.L. (1931). Modern Algebra, Volume II. Springer. 

• Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math Diarsipkan 2019-07-03 di Wayback Machine.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Algebraic Function". MathWorld. 
• Algebraic Function di PlanetMath.
• Definition of "Algebraic function" Diarsipkan 2020-10-26 di Wayback Machine. in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science