Fungsi pembangkit

Dalam matematika, fungsi pembangkit adalah sebuah cara menyatakan suku-suku dari barisan takhingga ${\displaystyle (a_{n})}$ sebagai koefisien-koefisien suatu deret pangkat formal. Deret yang dihasilkan proses ini disebut dengan fungsi pembangkit dari barisan tersebut. Berbeda dengan deret pada umumnya, deret pangkat formal tidak perlu konvergen: malahan, fungsi pembangkit sebenarnya tidak dianggap sebagai sebuah fungsi, dan "variabel" pada fungsi adalah besaran yang tidak terdefinisi. Fungsi pembangkit pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre di tahun 1730, dalam upaya menyelesaikan permasalahan rekursi perulangan linear secara umum.^[1] Deret pangkat formal dapat diperumum ke bentuk multi-"variabel", untuk mencatat informasi multidimensi dari barisan bilangan.

Terdapat berbagai tipe fungsi pembangkit, beberapa diantaranya fungsi pembangkit biasa, fungsi pembangkit eksponensial, deret Lambert, deret Bell, dan deret Dirichlet; definisi dan contoh mengenai tipe-tipe fungsi tersebut akan dijelaskan dibawah. Setiap barisan pada prinsipnya memiliki sebuah fungsi pembangkit untuk setiap tipe fungsi pembangkit (kecuali deret Lambert dan Dirichlet, yang memerlukan indeks barisan dimulai dari 1 ketimbang 0), namun tingkat kesulitan untuk menggunakan setiap tipe dapat berbeda secara signifikan. Tipe fungsi pembangkit yang paling sesuai untuk suatu konteks, jika ada, akan bergantung pada sifat dari barisan dan detail dari masalah yang dikerjakan.

Fungsi pembangkit umumnya dinyatakan dalam bentuk tertutup (ketimbang sebagai sebuah deret), lewat beberapa ekspresi yang terdefinisi bagi deret formal. Ekspresi-ekspresi ini diterapkan pada variabel—yang tak terdefinisi -- ${\displaystyle x}$, dan dapat melibatkan operasi aritmetika, diferensiasi, komposisi fungsi dengan fungsi-fungsi pembangkit lainnya. Karena operasi-operasi ini juga terdefinisi pada fungsi, hasil yang didapatkan terlihat sebagai fungsi terhadap ${\displaystyle x}$. Lagipula, ekspresi bentuk tertutup dapat diinterpretasi sebagai sebuah fungsi yang dapat dievaluasi pada suatu nilai , sehingga pengembangan deret fungsi tersebut menghasilkan deret formal; hal ini menjelaskan asal usul "fungsi pembangkit". Tapi interpretasi itu tidak diharuskan perlu dilakukan, karena deret formal tidak harus menghasilkan deret konvergen ketika nilai taknol disubtitusi ke ${\displaystyle x}$. Selain itu, tidak semua ekspresi yang berlaku pada fungsi terhadap ${\displaystyle x}$ dapat digunakan (secara berarti) untuk deret formal; sebagai contoh, pangkat negatif dan pecahan dari ${\displaystyle x}$ pada fungsi tidak memiliki padanan deret formal.

Fungsi pembangkit bukan merupakan fungsi dalam artian formal, yakni sebagai sebuah pemetaan dari sebuah domain ke suatu kodomain. Fungsi pembangkit terkadang disebut sebagai deret pembangkit.^[2] Fungsi pembangkit berguna untuk membantu menyelesaikan berbagai masalah pencacahan, rekursi, dan relasi pengulangan.

Beberapa penulis memberikan definisi informal dari fungsi pembangkit:

(terj.) Fungsi pembangkit adalah alat yang agak mirip dengan sebuah tas. Ketimbang membawa banyak benda kecil secara terpisah, yang dapat membuat malu, kita menempatkan semuanya dalam sebuah tas, sehingga kita cukup membawa satu benda: tas.

— George Pólya, Mathematics and plausible reasoning (1954)

(terj.) Fungsi pembangkit adalah sebuah tali jemuran tempat kita menggantungkan barisan bilangan-bilangan untuk ditampilkan.

— Herbert Wilf, Generatingfunctionology (1994)

Fungsi pembangkit biasa dari sebuah barisan ${\displaystyle (a_{n})}$ adalah$${\displaystyle G(a_{n};x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{k}x^{k}+...=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.}$$Ketika istilah fungsi pembangkit digunakan tanpa keterangan, umumnya hal itu merujuk pada sebuah fungsi pembangkit biasa. Jika ${\displaystyle (a_{n})}$ menyatakan fungsi massa peluang dari sebuah variabel acak diskret, maka fungsi pembangkit biasa yang dihasilkan disebut dengan fungsi pembangkit peluang.

Fungsi pembangkit biasa dapat diperumum untuk barisan dengan banyak indeks. Sebagai contoh, fungsi pembangkit biasa dari barisan dua dimensi ${\displaystyle (a_{m,n})}$, dengan ${\displaystyle m}$ dan ${\displaystyle n}$ berupa bilangan asli, adalah$${\displaystyle G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.}$$

Fungsi pembangkit eksponensial dari sebuah barisan ${\displaystyle (a_{n})}$ adalah$${\displaystyle \operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$Fungsi pembangkit eksponensial umumnya lebih mudah digunakan ketimbang fungsi pembangkit biasa untuk permasalahan pencacahan kombinatorial yang melibatkan objek berlabel.^[3] Keuntungan lain dari fungsi pembangkit eksponensial adalah kemudahannya membawa relasi pengulangan ke ranah persamaan diferensial. Sebagai contoh, barisan Fibonacci ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ yang memenuhi relasi pengulangan ${\displaystyle f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}}$ memiliki fungsi pembangkit eksponensial dengan bentuk$${\displaystyle \operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}}$$dan turunan-turunan dari fungsi tersebut memenuhi persamaan diferensial ${\displaystyle \operatorname {EF} ''(x)=\operatorname {EF} '(x)+\operatorname {EF} (x)}$ yang analog dengan relasi pengulangan di atas. Pada fungsi pembangkit tipe ini, suku faktorial ${\displaystyle n!}$ digunakan semata-mata untuk menormalisasi efek melakukan turunan pada ${\displaystyle x^{n}}$.

Fungsi pembangkit Poisson dari sebuah barisan ${\displaystyle (a_{n})}$ adalah$${\displaystyle \operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).}$$

Contoh sederhananya, fungsi pembangkit untuk barisan ${\displaystyle 1,1,1,\ldots }$ adalah

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}}$ ,

untuk ${\displaystyle |x|\leq 1}$ .

• Aigner, Martin (2007). A Course in Enumeration. Graduate Texts in Mathematics. 238. Springer. ISBN 978-3-540-39035-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-26. Diakses tanggal 2022-06-10. 
• Doubilet, Peter; Rota, Gian-Carlo; Stanley, Richard (1972). "On the foundations of combinatorial theory. VI. The idea of generating function". Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. 2: 267–318. Zbl 0267.05002. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2020-08-07. Diakses tanggal 2022-06-10.  Reprinted in Rota, Gian-Carlo (1975). "3. The idea of generating function". Finite Operator Calculus. With the collaboration of P. Doubilet, C. Greene, D. Kahaner, A. Odlyzko and R. Stanley. Academic Press. hlm. 83–134. ISBN 0-12-596650-4. Zbl 0328.05007. 
• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Analytic Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89806-5. Zbl 1165.05001. 
• Goulden, Ian P.; Jackson, David M. (2004). Combinatorial Enumeration. Dover Publications. ISBN 978-0486435978. 
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 7: Generating Functions". Concrete Mathematics. A foundation for computer science (edisi ke-2nd). Addison-Wesley. hlm. 320–380. ISBN 0-201-55802-5. Zbl 0836.00001. 
• Lando, Sergei K. (2003). Lectures on Generating Functions. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3481-7. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-07-26. Diakses tanggal 2022-06-10. 
• Wilf, Herbert S. (1994). Generatingfunctionology (edisi ke-2nd). Academic Press. ISBN 0-12-751956-4. Zbl 0831.05001. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2013-02-11. Diakses tanggal 2022-06-10. 

• "Introduction To Ordinary Generating Functions" Diarsipkan 2023-06-08 di Wayback Machine. by Mike Zabrocki, York University, Mathematics and Statistics
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Generating function", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Generating Functions, Power Indices and Coin Change Diarsipkan 2013-04-29 di Wayback Machine. at cut-the-knot
• "Generating Functions" Diarsipkan 2013-06-01 di Wayback Machine. by Ed Pegg Jr., Wolfram Demonstrations Project, 2007.