Grup abelian yang dihasilkan tak hingga

Dalam aljabar abstrak, grup abelian (G, +) disebut dihasilkan hingga jika terdapat banyak elemen hingga x₁, ..., x_s para G sedemikian rupa sehingga setiap x dan G bisa ditulis dalam bentuk

x = n₁x₁ + n₂x₂ + ... + n_sx_s

dengan bilangan bulat n₁, ..., n_s. Dalam hal ini, kami mengatakan bahwa himpunan {x₁, ..., x_s} adalah himpunan pembangkit dari G atau itu x₁, ..., x_s menghasilkan G.

Setiap grup abelian hingga dihasilkan secara tak terbatas. Grup abelian yang dihasilkan secara terbatas dapat diklasifikasikan sepenuhnya.

• Bilangan bulat, ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$, adalah grup abelian yang dihasilkan tanpa batas.
• Bilangan bulat modulo ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)}$, adalah gruo abelian yang terbatas (maka dihasilkan secara terbatas).
• Setiap jumlah langsung dari banyak grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi grup abelian yang dihasilkan tak terbatas.
• Setiap kisi membentuk grup abelian bebas yang dihasilkan tanpa batas.

Tidak ada contoh lain (hingga isomorfisme). Secara khusus, grup ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+\right)}$ dari bilangan rasional tidak dihasilkan secara terbatas:^[1] jika ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ adalah bilangan rasional, pilih bilangan asli ${\displaystyle k}$ coprime untuk semua penyebut; maka ${\displaystyle 1/k}$ tidak dapat disebu ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. The group ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)}$ bilangan rasional bukan nol juga tidak dihasilkan secara terbatas. Kelompok bilangan real di bawah penambahan ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,+\right)}$ dan bilangan riil bukan nol dalam perkalian ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}$ juga tidak dihasilkan secara terbatas.^[1][2]

Teorema fundamental dari grup abelian yang dihasilkan secara hingga dapat dinyatakan dengan dua cara, menggeneralisasi dua bentuk teorema fundamental grup abelian hingga . Teorema, dalam kedua bentuk, pada gilirannya menggeneralisasi ke teorema struktur untuk modul yang dihasilkan secara hingga melalui domain ideal utama, yang pada gilirannya mengakui generalisasi lebih lanjut.

Formulasi dekomposisi primer menyatakan bahwa setiap grup abelian G yang dihasilkan tak terbatas isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik prima dan grup siklik tak terbatas. Grup siklik primer adalah grup yang urutan adalah pangkat dari prima. Artinya, setiap grup abelian yang dihasilkan tak terbatas bersifat isomorfik ke grup bentuk

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}},}$

di mana n ≥ 0 adalah peringkat , dan angka q₁, ..., q_t adalah kekuatan dari bilangan prima (tidak harus berbeda). Secara khusus, G terbatas jika dan hanya jika n = 0. Nilai n , q₁, ..., q_t adalah (hingga menyusun ulang indeks) secara unik ditentukan oleh G , yaitu, hanya ada satu dan satu cara untuk merepresentasikan G sebagai dekomposisi semacam itu.

Kita juga dapat menulis grup abelian G yang dihasilkan secara terbatas sebagai jumlah langsung dari formulir

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}},}$

di mana k ₁ membagi k₂, yang membagi k₃ dan seterusnya sampai k_u. Sekali lagi, peringkat n dan faktor invarian k₁, ..., k_u ditentukan secara unik oleh G (di sini dengan urutan unik). Pangkat dan urutan faktor invarian menentukan kelompok hingga isomorfisme.

Pernyataan ini setara sebagai hasil dari Teorema sisa bahasa Cina, yang menyiratkan bahwa ${\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\simeq \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}$ if and only if j and k are coprime.

Sejarah dan penghargaan untuk teorema fundamental diperumit oleh fakta bahwa itu terbukti ketika teori grup tidak mapan, dan dengan demikian bentuk awal, sementara pada dasarnya hasil dan bukti modern, sering dinyatakan untuk kasus tertentu. Singkatnya, bentuk awal dari kasus hingga terbukti di (Gauss 1801), kasus yang terbatas telah dibuktikan (Kronecker 1870), dan dinyatakan dalam istilah teori-grup oleh (Frobenius & Stickelberger 1878). Kasus disajikan diselesaikan dengan bentuk normal Smith, dan karenanya sering dikreditkan ke (Smith 1861),^[3] meskipun kasus dihasilkan yang tidak terbatas terkadang malah dikreditkan oleh (Poincaré 1900); detail ikuti.

Teori grup László Fuchs menyatakan:^[3]

Sejauh menyangkut teorema fundamental tentang kelompok abelian hingga, tidak jelas seberapa jauh ke masa lalu seseorang perlu menelusuri asal-usulnya.. ... butuh waktu lama untuk merumuskan dan membuktikan teorema fundamental dalam bentuknya yang sekarang ...

Teorema fundamental untuk kelompok abelian terbatas dibuktikan oleh Leopold Kronecker oleh (Kronecker 1870), menggunakan bukti teori-grup,^[4] though without stating it in group-theoretic terms;^[5] presentasi modern dari bukti Kronecker diberikan (Stillwell 2012), 5.2.2 Teorema Kronecker, 176–177. Ini menggeneralisasikan hasil sebelumnya dari Carl Friedrich Gauss dari Disquisitiones Arithmeticae (1801), yang mengklasifikasikan bentuk kuadrat; Kronecker mengutip hasil dari Gauss. Teorema tersebut dinyatakan dan dibuktikan dalam bahasa kelompok oleh Ferdinand Georg Frobenius dan Ludwig Stickelberger pada tahun 1878.^[6][7] Formulasi teori-kelompok lain diberikan oleh murid Kronecker Eugen Netto pada tahun 1882.^[8][9]

Teorema fundamental untuk disajikan secara terbatas grup abelian dibuktikan oleh Henry John Stephen Smith oleh (Smith 1861),^[3] sebagai matriks integer sesuai dengan presentasi terbatas dari kelompok abelian (ini menggeneralisasi untuk modul yang disajikan secara halus di atas domain ideal utama), dan Bentuk normal Smith sesuai dengan klasifikasi grup abelian yang disajikan secara terbatas.

Teorema fundamental untuk kelompok abelian yang dihasilkan secara terbatas dibuktikan oleh Henri Poincaré oleh (Poincaré 1900), menggunakan bukti matriks (yang menggeneralisasi domain ideal utama). Ini dilakukan dalam konteks komputasi homologi dari sebuah kompleks, khususnya Bilangan Betti dan koefisien torsi dari dimensi kompleks, di mana bilangan Betti sesuai dengan peringkat bagian bebas.^[4]

Bukti Kronecker digeneralisasikan menjadi grup abelian yang dihasilkan secara halus oleh Emmy Noether pada (Noether 1926).^[4]

Dinyatakan secara berbeda, teorema fundamental mengatakan bahwa grup abelian yang dihasilkan secara terbatas adalah jumlah langsung dari grup abelian gratis dari peringkat dan grup abelian hingga, masing-masing unik hingga isomorfisme. Grup abelian terbatas hanyalah subgrup torsi dari G . Pangkat G didefinisikan sebagai pangkat bagian bebas torsi dari G ; ini hanyalah angka n pada rumus di atas.

Sebuah korelasi pada teorema fundamental adalah bahwa setiap grup abelian bebas torsi adalah abelian bebas. Kondisi yang dihasilkan tak terbatas sangat penting di sini: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ bebas torsi tetapi bukan abelian gratis.

Setiap subgrup dan grup faktor dari grup abelian yang dihasilkan tak terbatas lagi-lagi dihasilkan abelian tak terhingga. Grup abelian yang dihasilkan tak terbatas, bersama dengan homomorfisme grup, membentuk kategori abelian yang merupakan Serre subkategori dari kategori grup abelian.

Perhatikan bahwa tidak setiap grup abelian dengan peringkat terbatas dihasilkan secara terbatas; kelompok peringkat 1 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ adalah salah satu contoh berlawanan, dan grup peringkat-0 diberikan oleh jumlah langsung terhitung tak terhingga banyak salinan dari ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ adalah satu sama lain.

• Teorema Jordan–Hölder adalah generalisasi non-abelian