Karpet Sierpiński

Karpet Sierpiński adalah fraktal bidang yang pertama kali dijelaskan oleh Wacław Sierpinski pada tahun 1916. Karpet fraktal ini merupakan generalisasi dari Cantor set menjadi dua dimensi; generalisasi lainnya adalah Cantor dust.

Teknik membagi suatu bentuk menjadi salinan yang lebih kecil, menghapus satu atau lebih salinan, dan melanjutkan secara rekursif dapat diperluas ke bentuk lain. Misalnya, membagi segitiga sama sisi menjadi empat segitiga sama sisi, menghilangkan segitiga tengah, dan mengulanginya akan menghasilkan segitiga Sierpinski . Dalam tiga dimensi, konstruksi serupa berdasarkan kubus dikenal sebagai Spons Menger.

Konstruksi karpet Sierpinski dimulai dengan persegi. Kotak tersebut dipotong menjadi 9 sub-kotak yang kongruen dalam kisi-kisi berukuran 3 kali 3, dan sub-kotak di tengahnya dihilangkan. Prosedur yang sama kemudian diterapkan secara rekursif pada 8 subkuadrat yang tersisa, ad infinitum . Hal ini dapat diwujudkan sebagai himpunan titik-titik pada persegi satuan yang koordinatnya dituliskan dalam basis tiga tidak keduanya mempunyai angka '1' pada posisi yang sama, dengan menggunakan representasi bilangan yang sangat kecil dari ${\displaystyle 0.1111\dots =0.2}$ .^[1]

Proses menghilangkan kotak secara rekursif adalah contoh aturan pembagian berhingga.

Luas karpet adalah nol (dalam ukuran standar Lebesgue ).

Bukti: Dinyatakan sebagai a_i luas area dari iterasi i. Maka a_{i + 1} = 89a_i. Jadi ai = a_i = (89)ⁱ, yang cenderung ke 0 seiring i menuju tak terhingga.

Bagian dalam karpet kosong.

Bukti: Misalkan secara kontradiksi terdapat titik P di bagian dalam karpet. Lalu ada sebuah persegi yang berpusat di P yang seluruhnya terdapat di dalam karpet. Kotak ini berisi kotak lebih kecil yang koordinatnya merupakan kelipatan 13^k⁠ untuk beberapa k. Namun, jika kotak ini belum pernah dihilangkan sebelumnya, maka kotak tersebut pasti telah dilubangi pada iterasi k + 1, sehingga tidak dapat ditampung di dalam karpet – sebuah kontradiksi.

Dimensi karpet Hausdorff adalah ${\displaystyle {\frac {\log 8}{\log 3}}\approx 1.8928}$.^[2]

Sierpinski mendemonstrasikan bahwa karpetnya merupakan kurva bidang universal.^[3] Yaitu: karpet Sierpinski adalah bagian kompak dari bidang dengan dimensi penutup Lebesgue 1, dan setiap bagian dari bidang dengan sifat-sifat ini bersifat homeomorfik terhadap beberapa bagian dari karpet Sierpinski.

"Universalitas" karpet Sierpinski ini bukanlah properti universal sejati dalam pengertian teori kategori: ia tidak secara unik mencirikan ruang ini hingga homeomorfisme. Misalnya, gabungan karpet Sierpinski dan lingkaran juga merupakan kurva bidang universal. Namun, pada tahun 1958 Gordon Whyburn^[4] secara unik mengkarakterisasi karpet Sierpinski sebagai berikut: setiap kurva yang terhubung secara lokal dan tidak memiliki 'titik potong lokal' bersifat homeomorfik terhadap karpet Sierpinski. Di sini titik potong lokal adalah titik p dimana beberapa lingkungan terhubung U dari p mempunyai sifat U − {p} tidak terhubung. Jadi, misalnya, setiap titik pada lingkaran adalah titik potong lokal.

Dalam makalah yang sama, Whyburn memberikan karakterisasi lain tentang karpet Sierpinski. Ingatlah bahwa kontinum adalah ruang metrik kompak yang tidak kosong dan terhubung. Misalkan X adalah sebuah kontinum yang tertanam pada bidang. Misalkan komplemennya pada bidang tersebut memiliki banyak sekali komponen terhubung C₁, C₂, C₃, ... dan misalkan:

• Diameter C_i menjadi nol karena i → ∞ ;
• Batas C_i dan batas C_j saling lepas jika i ≠ j ;
• Batas C_i adalah kurva tertutup sederhana untuk setiap i ;
• Gabungan batas-batas himpunan C_i padat di X .

Maka X bersifat homeomorfik pada karpet Sierpinski.

Topik gerak Brown di karpet Sierpinski telah menarik perhatian dalam beberapa tahun terakhir.^[5] Martin Barlow dan Richard Bass telah menunjukkan bahwa jalan acak di karpet Sierpinski berdifusi lebih lambat dibandingkan jalan acak tanpa batas di dalam pesawat. Yang terakhir mencapai jarak rata-rata yang sebanding dengan √n setelah n langkah, tetapi jalan acak di karpet Sierpinski diskrit hanya mencapai jarak rata-rata yang sebanding dengan ^β√n untuk beberapa β > 2 . Mereka juga menunjukkan bahwa jalan acak ini memenuhi ketimpangan deviasi besar yang lebih kuat (disebut "ketidaksetaraan sub-Gaussian") dan memenuhi ketimpangan elips Harnack tanpa memenuhi ketimpangan parabola. Keberadaan contoh seperti itu merupakan masalah terbuka selama bertahun-tahun.

Variasi karpet Sierpinski, yang disebut saringan Wallis, dimulai dengan cara yang sama, dengan membagi satuan persegi menjadi sembilan kotak yang lebih kecil dan menghilangkan bagian tengahnya. Pada tingkat pembagian berikutnya, setiap persegi dibagi lagi menjadi 25 persegi yang lebih kecil dan menghilangkan yang di tengah, dan dilanjutkan pada langkah ke i dengan membagi setiap persegi menjadi (2i + 1)² (kotak ganjil^[6]) kotak yang lebih kecil dan hilangkan kotak tengahnya. Berdasarkan perkalian Wallis, luas himpunan yang dihasilkan adalahπ4, berbeda dengan karpet Sierpinski standar yang tidak memiliki luas pembatas. Meskipun saringan Wallis mempunyai ukuran Lebesgue positif, tidak ada himpunan bagian yang merupakan hasil kali Kartesius dari dua himpunan bilangan real yang mempunyai sifat ini, sehingga ukuran Jordannya adalah nol.^[7]

Telepon genggam dan Wi-Fi fractal antennas telah diproduksi dalam bentuk beberapa iterasi karpet Sierpinski. Karena kesamaan diri dan invariansi skalanya, mereka dengan mudah mengakomodasi banyak frekuensi. Antena ini juga mudah dibuat dan lebih kecil dibandingkan antena konvensional dengan kinerja serupa, sehingga optimal untuk telepon seluler berukuran saku.^[8][9][10]

• Fraktal
• Spons Menger
• Kurva naga

Wikimedia Commons memiliki media mengenai Sierpinski carpet.

• Variasi Tema Tremas II
• Kue Sierpinski
• Karpet Sierpinski diselesaikan dengan menggunakan aritmatika modular