Kebebasan aljabar

Di dalam aljabar abstrak, suatu himpunan bagian S dari suatu medan L dikatakan bebas aljabar pada suatu medan bagian K jika unsur-unsur S tidak memenuhi sembarang persamaan polinom tak-trivial yang berkoefisien di lingkup K.

Secara khusus, suatu himpunan berunsur satu {α} dikatakan bebas aljabar pada K jika dan hanya jika α transenden pada K. Secara umum, suatu unsur dari suatu himpunan bebas aljabar S pada K dikatakan transenden (berdasarkan syarat perlu) pada K, dan pada semua perluasan medan pada K yang dibangkitkan oleh unsur-unsur S lainnya.

Dua bilangan real ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ dan ${\displaystyle 2\pi +1}$ masing-masing dikatakan sebagai bilangan transenden: mereka bukan akar dari sembarang polinom tak-trivial yang koefisien-koefisiennya merupakan bilangan rasional. Dengan demikian, tiap-tiap dua singleton (himpunan unsur) ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }}\}}$ dan ${\displaystyle \{2\pi +1\}}$ dikatakan bebas aljabar pada medan bilangan rasional ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Meskipun demikian, himpunan ${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$ tidaklah bebas aljabar pada bilangan rasional, karena polinom tak-trivial

${\displaystyle P(x,y)=2x^{2}-y+1}$

bernilai nol manakala ${\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}$ dan ${\displaystyle y=2\pi +1}$.

Meskipun kedua-dua ${\displaystyle \pi }$ dan e diketahui sebagai transenden, tidaklah diketahui apakah himpunan kedua-dua mereka ini bebas linear pada ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[1] Faktanya, bahkan tidak diketahui jika ${\displaystyle \pi +e}$ tak-rasional.^[2] Nesterenko membuktikan pada tahun 1996 bahwa:

• bilangan-bilangan π, e^π, dan Γ(1/4) dikatakan bebas aljabar pada Q.^[3]
• bilangan-bilangan π, e^π√3, dan Γ(1/3) dikatakan bebas aljabar pada Q.
• untuk semua bilangan bulat positif n, bilangan-bilangan π, e^π√n dikatakan bebas aljabar pada Q.^[4]

Teorema Lindemann–Weierstrass sering kali dapat digunakan untuk membuktikan bahwa beberapa himpunan dikatakan bebas aljabar pada Q. Teorema ini menyatakan bahwa ketika α₁,...,α_n merupakan bilangan aljabar yang bebas linear pada Q, maka e^α₁,...,e^α_n dikatakan bebas aljabar pada Q.

Diberikan suatu perluasan medan L/K yang tidak aljabar, lemma Zorn dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa akan selalu ada himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal dari L pada K. Lebih jauhnya, semua himpunan-bagian bebas aljabar yang maksimal akan memiliki kardinalitas yang sama, dikenal sebagai derajat ketransendenan suatu perluasan.

Untuk setiap himpunan S dari unsur-unsur L, semua himpunan-bagian bebas aljabar dari S memenuhi aksioma-aksioma yang mendefinisi himpunan-himpunan matroid yang bebas. Di dalam matroid ini, rentang (rank) suatu himpunan unsur-unsur adalah derajat ketransendenannya, dan lempeng (flat) yang dibangkitkan oleh suatu himpunan T dari unsur-unsur adalah irisan L dengan medan K[T]. Suatu matroid yang dapat dibangkitkan dengan cara ini dikatakan matroid aljabar. Tidak ada karakterisasi bagus yang telah diketahui untuk matroid aljabar, tetapi matroid-matroid tertentu diketahui sebagai bukan aljabar; yang terkecil adalah matroid Vámos.^[5]

Ada banyak matroid berhingga yang dapat direpresentasi oleh matriks pada medan K, di mana unsur-unsur matroid yang berkorespondensi dengan kolom-kolom matriks, dan sehimpunan unsur-unsur dikatakan saling bebas jika himpunan kolom-kolom yang berkorespondensi dikatakan bebas linear. Setiap matroid dengan representasi linear sedemikian dapat juga direpresentasi sebagai suatu matroid aljabar, dengan memilih suatu indeterminate untuk tiap-tiap baris matriks, dan dengan menggunakan koefisien-koefisien matriks di dalam tiap-tiap kolom untuk menandai tiap-tiap unsur matroid suatu kombinasi linear dari transenden-transenden ini. Kebalikannya adalah salah: tidak semua matroid aljabar memiliki representasi linear.^[6]

• (Inggris) Chen, Johnny. "Algebraically Independent". MathWorld.