Kelas grup

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ Grup Klein ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Grup bebas Grup modular ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ Linear khusus ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ Ortogonal ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ Euklides ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ Ortogonal khusus ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ Uner ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ Uniter khusus ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ Simplektik ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Kelas grup adalah teoritis himpunan grup yang menggunakan sifat jika G dalam koleksi maka grup isomorfik ke G juga dalam koleksi. Konsep dari grup yang menggunakan sifat khusus tertentu (misalnya keterbatasan atau komutatifitas). Karena teori himpunan tidak menggunakan "grup himpunan", maka dengan konsep yang lebih umum dari kelas.

Kelas grup ${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$ adalah kumpulan grup sehingga jika ${\displaystyle G\in {\mathfrak {X}}~}$ dan ${\displaystyle G\cong H~}$ maka ${\displaystyle H\in {\mathfrak {X}}~}$. Grup di kelas ${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$ disebut sebagai grup-${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$.

Untuk himpunan grup ${\displaystyle {\mathfrak {I}}~}$, dilambangkan dengan ${\displaystyle ({\mathfrak {I}})}$ kelas terkecil dari grup ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$. Khususnya untuk grup ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle (G)}$ menunjukkan kelas isomorfismenya.

Contoh paling umum dari kelas grup adalah:

• ${\displaystyle \emptyset }$: kelas grup kosong
• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$: kelas grup siklik.
• ${\displaystyle {\mathfrak {A}}~}$: kelas grup Abelian.
• ${\displaystyle {\mathfrak {U}}~}$: kelas terbatas grup solvabel
• ${\displaystyle {\mathfrak {N}}~}$: kelas dari grup nilpoten
• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}~}$: kelas dari hingga grup divisibel
• ${\displaystyle {\mathfrak {I}}~}$: kelas terbatas grup sederhana
• ${\displaystyle {\mathfrak {E}}~}$: kelas grup hingga
• ${\displaystyle {\mathfrak {G}}~}$: kelas berkas dari grup

Dua kelas grup ${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {Y}}~}$ didefinisikan sebagai produk kelas

${\displaystyle {\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}~=(G|G{\text{ sebagai subgrup normal }}N\in {\mathfrak {X}}{\text{ dengan }}G/N\in {\mathfrak {Y}})}$

Konstruksi ini memungkinkan untuk secara rekursif mendefinisikan pangkat kelas dengan

${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{0}=(1)}$ dan ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{n}={\mathfrak {X}}^{n-1}{\mathfrak {X}}}$

Harus dicatat bahwa operasi biner pada kelas kelas grup bukan asosiatif atau komutatif. Misalnya, pertimbangkan grup alternatif dari derajat 4 (dan urutan 12); grup ini milik kelas ${\displaystyle ({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$ karena memiliki sebagai subgrup ${\displaystyle V_{4}}$ dengan ${\displaystyle {\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}}$ dan selanjutnya ${\displaystyle A_{4}/V_{4}\cong C_{3}}$ adalah ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$. Namun ${\displaystyle A_{4}}$ tidak memiliki subgrup siklik normal non-trivial, jadi ${\displaystyle A_{4}\not \in {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})}$. Maka ${\displaystyle {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})\not =({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$.

Namun dari definisi untuk tiga kelas grup ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$, dan ${\displaystyle {\mathfrak {Z}}}$,

${\displaystyle {\mathfrak {X}}({\mathfrak {Y}}{\mathfrak {Z}})\subseteq ({\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}){\mathfrak {Z}}}$

Peta kelas c adalah peta kelas grup ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ke kelas grup ${\displaystyle c{\mathfrak {X}}}$. Peta kelas dikatakan sebagai operasi penutupan jika sifat berikutnya:

1. c adalah ekspansif: ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {X}}}$
2. c adalah idempoten: ${\displaystyle c{\mathfrak {X}}=c(c{\mathfrak {X}})}$
3. c adalah monotonik: jika ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq {\mathfrak {Y}}}$ maka ${\displaystyle c{\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {Y}}}$

Beberapa contoh operasi penutupan yang paling umum adalah:

• ${\displaystyle S{\mathfrak {X}}=(G|G\leq H,\ H\in {\mathfrak {X}})}$
• ${\displaystyle Q{\mathfrak {X}}=(G|{\text{maka }}H\in {\mathfrak {X}}{\text{ dan epimorfisme dari }}H{\text{ ke }}G)}$
• ${\displaystyle N_{0}{\mathfrak {X}}=(G|{\text{ maka }}K_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ subnormal di }}G{\text{ dengan }}K_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ dan }}G=\langle K_{1},\cdots ,K_{r}\rangle )}$
• ${\displaystyle R_{0}{\mathfrak {X}}=(G|{\text{ maka }}N_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ normal di }}G{\text{ dengan }}G/N_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ dan }}\bigcap \limits _{i=1}^{r}Ni=1)}$
• ${\displaystyle S_{n}{\mathfrak {X}}=(G|G{\text{ adalah subnormal di }}H{\text{ untuk beberapa }}H\in {\mathfrak {X}})}$

• Pembentukan

• Ballester-Bolinches, Adolfo; Ezquerro, Luis M. (2006), Classes of finite groups, Mathematics and Its Applications (Springer), 584, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4718-3, MR 2241927 
• Doerk, Klaus; Hawkes, Trevor (1992), Finite soluble groups, de Gruyter Expositions in Mathematics, 4, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-012892-5, MR 1169099