Keserupaan matriks

Dalam aljabar linear, dua matriks persegi ${\displaystyle \mathbf {A} }$ and ${\displaystyle \mathbf {B} }$ berukuran ${\displaystyle n\times n}$ disebut serupa jika ada matriks terbalikkan ${\displaystyle \mathbf {P} }$ yang memenuhi hubungan$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} .}$$Matriks-matriks yang serupa merepresentasikan pemetaan linear yang sama dibawah dua basis yang (mungkin) berbeda, dengan ${\displaystyle \mathbf {P} }$ menjadi matriks perubahan basis.^[1][2] Transformasi ${\displaystyle \mathbf {A} \mapsto \mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} }$ disebut transformasi keserupaan atau konjugasi dari matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Dalam grup linear umum, konsep keserupaan sama dengan konjugasi, dan matriks-matriks serupa juga disebut dengan konjugat. Akan tetapi, untuk suatu subgrup H dari grup linear umum, konsep konjugasi dapat lebih ketat daripada keserupaan, karena mengharuskan ${\displaystyle \mathbf {P} }$ berada di H.

Saat mendefinisikan suatu transformasi linear, terkadang ada keadaan ketika perubahan basis dari transformasi tersebut, dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, matriks yang merepresentasikan rotasi di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dengan sumbu rotasi yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, mungkin rumit untuk dihitung. Akan tetapi, jika sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-z positif, matriks tersebut dapat dituliskan sebagai$${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$dengan ${\displaystyle \theta }$ menyatakan sudut dari rotasi. Di sistem koordinat yang baru ini, transformasi dapat dituliskan sebagai$${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {S} \mathbf {x} ',}$$dengan ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ dan ${\displaystyle \mathbf {y} '}$ masing-masing menyatakan vektor awal dan vektor hasil transformasi. Sedangkan di sistem koordinat lama, transformasi ini ditulis sebagai $${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {T} \mathbf {x} ,}$$dengan vektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {y} }$, dan matriks tranformasi ${\displaystyle \mathbf {T} }$ yang tidak diketahui, berada di basis lama. Untuk menyatakan ${\displaystyle \mathbf {T} }$ menggunakan matriks transformasi yang lebih sederhana, kita menggunakan matriks perubahan basis ${\displaystyle \mathbf {P} }$ yang memetakan ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {y} }$ menjadi ${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {P} \mathbf {x} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {P} \mathbf {y} }$, sehingga:$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\mathbf {y} '&=\mathbf {S} \mathbf {x} '\\[1.6ex]&\Rightarrow &\mathbf {P} \mathbf {y} &=\mathbf {S} \mathbf {P} \mathbf {x} \\[1.6ex]&\Rightarrow &\mathbf {y} &=\left(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {P} \right)\mathbf {x} =\mathbf {T} \mathbf {x} .\end{aligned}}}$$Alhasil, matriks transformasi di basis awal, ${\displaystyle \mathbf {T} }$, dapat dihitung dengan mudah sebagai ${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {P} }$. Dengan kata lain, transformasi keserupaan bekerja dalam tiga langkah: ubah masalah ke basis yang baru (${\displaystyle \mathbf {P} }$), lakukan transformasi yang lebih sederhana (${\displaystyle \mathbf {S} }$), lalu kembali ke basis yang lama (${\displaystyle \mathbf {P} ^{-1}}$).

Keserupaan adalah salah satu relasi ekuivalensi pada ruang matriks persegi. Karena matriks-matriks yang serupa jika dan hanya jika mereka menyatakan operator linear yang sama menurut basis-basis yang (mungkin) berbeda, matriks-matriks yang serupa memiliki semua sifat dari operator yang mereka nyatakan:

• Rank
• Polinomial karakteristik, dan nilai-nilai yang dapat diperoleh dari polinomial tersebut, seperti:
  • Determinan
  • Teras
  • Nilai-nilai eigen, dan kegandaan aljabar mereka.
• Kegandaan geometrik dari nilai-nilai eigen (namun tidak ruang-ruang eigen, karena itu berubah akibat perubahan basis oleh ${\displaystyle \mathbf {P} }$)
• Polinomial minimal
• Bentuk normal Frobenius
• Bentuk normal Jordan, hingga permutasi dari blok-blok Jordan
• Indeks nilpoten

Hubungan-hubungan ini mengakibatkan, untuk sebarang matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$, pencarian matriks "bentuk normal" ${\displaystyle \mathbf {B} }$ yang serupa dengan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dapat lebih disukai karena penelitian terkait matriks ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dapat dimudahkan dengan menelitik matriks ${\displaystyle \mathbf {B} }$ yang lebih sederhana.

Keserupaan matriks-matriks tidak bergantung pada lapangan yang digunakan: jika ${\displaystyle K}$ adalah sublapangan dari lapangan ${\displaystyle L}$, dan ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {B} }$ adalah matriks atas ${\displaystyle K}$, maka ${\displaystyle \mathbf {A} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {B} }$ saling serupa atas ${\displaystyle K}$ jika dan hanya jika mereka juga saling serupa atas ${\displaystyle L}$. Hal ini diakibatkan bentuk kanonik rasional atas ${\displaystyle K}$ juga merupakan bentuk kanonik rasional atas ${\displaystyle L}$. Akibatnya, bentuk-bentuk Jordan yang ada di lapangan yang lebih besar, untuk menentukan keserupaan dari matriks-matriks.

• Bentuk kanonik
• Kekongruenan matriks
• Kesetaraan matriks