Konjektur Mersenne

Dalam matematika, konjektur Mersenne adalah sebuah konjektur yang melibatkan karakterisasi dari jenis bilangan prima yang disebut bilangan prima Mersenne, bilangan prima yang ditulis dalam ekspresi perpangkatan dari dua dikurangi satu.

Konjektur aslinya, yang disebut konjektur Mersenne, menyatakan bahwa bilangan ${\displaystyle 2^{n}-1}$ merupakan bilangan prima untuk ${\displaystyle n}$ bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257, serta merupakan bilangan komposit untuk semua bilangan bulat positif lain ${\displaystyle n\leq 257}$. Konjektur ini dinamai dari Marin Mersenne, dan terdapat di dalam Cogitata Physico-Mathematica^[1]. Bilangan-bilangan yang sangat banyak jumlahnya mengakibatkan Mersenne tidak dapat menguji semuanya di abad ke-17. Akan tetapi setelah tiga abad kemudian dan tersedianya pengujian yang baru, yaitu uji Lucas–Lehmer, konjektur Mersenne memiliki lima kesalahan. Letak kesalahan tersebut di antaranya adalah dua bilangan komposit (${\displaystyle n=67,257}$) dan tiga bilangan prima (${\displaystyle n=61,89,107}$) saat disubstitusi ke bilangan prima Mersenne. Bilangan yang benar adalah ${\displaystyle n}$ bernilai 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 dan 127.

Konjektur Mersenne baru atau konjektur Bateman–Selfridge–Wagstaff menyatakan bahwa untuk sebarang bilangan asli ganjil ${\displaystyle p}$, jika dua dari syarat berikut berlaku, maka syara ketiga juga berlaku:^[2]

1. ${\displaystyle p=2^{k}\pm 1}$ atau ${\displaystyle p=4^{k}\pm 3}$ untuk suatu bilangan asli ${\displaystyle k}$. ( A122834)
2. ${\displaystyle 2^{p}-1}$ adalah sebuah bilangan prima Mersenne. ( A000043)
3. ${\displaystyle (2^{p}+1)/3}$ adalah sebuah bilangan prima Wagstaff. ( A000978)

Jika ${\displaystyle p}$ adalah bilangan komposit ganjil, maka ${\displaystyle 2^{p}-1}$ dan ${\displaystyle (2^{p}+1)/3}$ adalah komposit. Oleh karena itu, pengujian bilangan prima hanya diperlukan untuk membenarkan kebenaran dari konjektur tersebut.

Lenstra, Pomerance, dan Wagstaff menduga bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan prima Mersenne, dan lebih tepatnya bahwa jumlah bilangan prima Mersenne yang lebih kecil daripada ${\displaystyle x}$ secara asimtotik kira-kira sama dengan ^[3] $${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}\log _{2}(x),}$$ dengan γ adalah konstanta Euler–Mascheroni.

Dengan kata lain, jumlah bilangan prima Mersenne dengan pangkat ${\displaystyle p}$ yang lebih kecil daripada ${\displaystyle y}$ secara asimtotik sama dengan^[3] $${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(y).}$$

Lebih umumnya lagi, jumlah bilangan prima ${\displaystyle p\leq y}$ sehingga ${\displaystyle (a^{p}-b^{p})/(a-b)}$ adalah bilangan prima (dengan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah bilangan bulat koprima, ${\displaystyle a>1,-a<b<a}$, serta ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ bukanlah bilangan sempurna pangkat ${\displaystyle r}$ untuk sebarang bilangan asli ${\displaystyle r>1}$, dan ${\displaystyle -4ab}$ bilangan sempurna pangkat empat) secara asimtotik sama dengan

$${\displaystyle (e^{\gamma }+m\cdot \log _{e}(2))\cdot \log _{a}(y),}$$

dengan ${\displaystyle m}$ adalah bilangan bulat tak negatif terbesar sehingga ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle -b}$ adalah bilangan sempurna pangkat ${\displaystyle 2^{m}}$. Kasus ${\displaystyle (a,b)=(2,1)}$ merupakan kasus bilangan prima Mersenne.