Pecahan tak tersederhanakan

Pecahan tak tersederhanakan (bahasa Inggris: irreducible fraction) adalah pecahan dengan pembilang dan penyebutnya berupa bilangan bulat tetapi tidak mempunyai pembagi yang sama selain 1, dan juga selain −1 jika bilangannya negatif.^[1] Dengan kata lain, pecahan ab dikatakan tak tersederhanakan jika dan hanya jika a dan b adalah bilangan koprima, dalam artian bahwa jika a dan b mempunyai faktor persekutuan terbesar dari 1.

Ada sebuah definisi ekuivalen yang terkadang berguna. Definisi tersebut mengatakan:

Jika a dan b bilangan bulat, maka pecahan ab dikatakan tak tersederhanakan jika dan hanya jika tiada pecahan cd yang sama lainnya sehingga |c| < |a| atau |d| < |b|, dengan |...| menyatakan notasi nilai mutlak.^[2] Dua pecahan ab dan cd dikatakan sama atau ekuivalen jika dan hanya jika ad = bc.

Sebagai contoh, 14, 56, dan −101100 adalah pecahan tak tersederhanakan. Sedangkan pecahan seperti 24 adalah pecahan tersederhanakan karena nilainya sama dengan 12, dan pembilang dari 12 lebih kecil dari pembilang 24.

Pecahan tersederhanakan dapat disederhanakan dengan membagi pembilang penyebut dengan faktor yang sama. Pecahan dapat disederhanakan lebih lagi hingga mencapai nilai terkecil jika pembilang dan penyebut dibagi dengan faktor persekutuan terbesar darinya.^[3] Cara mencari faktor persekutuan terbesar darinya adalah dengan menggunakan algoritma Euklides atau faktorisasi prima, dan algoritma Euklides adalah pemakaian yang paling umum karena metodenya dapat menyederhanakan pecahan dengan pembilang dan penyebutnya yang terlalu besar difaktorkan dengan mudah.^[4]

Katakanlah 12090 adalah pecahan yang ingin disederhanakan. Langkah pertama yang dilakukan adalah membagi pembilang dan penyebut dengan 10, karena merupakan faktor dari 120 dan 90. Langkah yang kedua adalah membaginya dengan 3, sehingga pecahan tersebut menjadi 43, sebuah pecahan yang tidak dapat disederhanakan karena 4 dan 3 tidak mempunyai faktor yang sama selain 1.

Pecahan tadi dapat disederhanakan hanya sekali dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar dari 90 dan 120, yang hasilnya adalah 30. Saat 120 ÷ 30 = 4, dan 90 ÷ 30 = 3, maka didapati

${\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}}$

Metode yang lebih cepat "dengan menghitung manual" tergantung pada bentuk pecahan dan menemukan faktor terbesarnya dengan mudah. Akan tetapi, ketika penyebut dan pembilang masih terlalu besar, dan kemudian memeriksanya dengan pasti bahwa mereka adalah koprima, maka perhitungan melalui faktor persekutuan terbesar diperlukan agar pasti bahwa pecahannya sudah tidak dapat disederhanakan lagi.

Setiap bilangan rasional mempunyai representasi tunggal sebagai pecahan tak tersederhanakan dengan penyebutnya bernilai positif^[5] (akan tetapi, 23 = −2−3 walaupun kedua pecahan tersebut sama-sama tidak dapat disederhanakan). Ketunggalan merupakan akibat dari faktorisasi prima tunggal dari bilangan bulat, karena ab = cd menyiratkan ad = bc. Demikian, kedua sisi pada persamaan terakhir harus membagi faktorisasi bilangan prima yang sama, tetapi a dan b tidak saling membagi faktor prima sehingga himpunan faktor prima dari a (beserta kelipatannya) adalah subhimpunan dari himpunan faktor prima dari c, dan begitupula sebaliknya. Hal ini mengartikan bahwa a = c, dan berdasarkan argumen yang sama, b = d.

Setiap bilangan rasional mempunyai representasi tunggal sebagai pecahan tak tersederhanakan mempunyai penerapan dalam berbagai bukti keirasionalan dari akar kuadrat dari 2, serta bilangan irasional lainnya. Sebagai contoh, ketika ingin membuktikan bahwa √2 dapat direpresentasikan sebagai perbandingan dari bilangan bulat, maka secara khusus menyederhanakan ab sepenuhnya dengan a dan b kemungkinan merupakan nilai yang paling terkecil; tetapi karena ab sama dengan √2. Begitupula untuk

${\displaystyle {\frac {2b-a}{a-b}},}$

yang memperlihatkan bahwa hasilnya sama ketika mengali-silang ekspresi tersebut dengan ab. Karena a > b dan √2 lebih besar dari 1, ekspresi yang terakhir merupakan perbandingan dari dua bilangan bulat yang lebih kecil. Bukti ini kontradiksi dengan pernyataan yang mengatakan bahwa akar kuadrat dari dua mempunyai representasi sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat.

Terdapat gagasan pecahan tak tersederhanakan yang memperumum ke lapangan pecahan dari sebarang domain faktorisasi tunggal. Gagasan itu mengatakan bahwa setiap unsur dari suatu medan dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut dan pembilangnya adalah bilangan koprima dengan membaginya berdasarkan faktor persekutuan terbesar darinya.^[6] Secara khusus, hal ini berlaku untuk ekspresi bilangan rasional atas lapangan. Pecahan tak tersederhanakan untuk unsur yang diberikan hanya memiliki tepat satu buah perkalian dari penyebut dan pembilang dengan unsur terbalikkan yang sama. Dalam kasus bilangan rasional, ini mengartikan bahwa setiap bilangan mempunyai dua pecahan tak tersederhanakan, yang dikaitkan dengan mengubah tanda pada pembilang dan penyebut, serta keambiguan tersebut dapat dihilangkan dengan membuat penyebut menjadi bernilai positif. Dalam kasus fungsi rasional, penyebut pada pecahan dapat dilakukan dengan serupa, yaitu dengan membuatnya menjadi polinomial monik.^[7]

• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Reduced Fraction". MathWorld.