Pemusat dan penormal

Dalam matematika, khususnya teori grup, pemusat (disebut juga komutan^[1][2]) dari subset S dari grup G adalah himpunan elemen G yang komutatif dengan setiap elemen S , dan penormal dari S adalah himpunan elemen yang memenuhi kondisi yang lebih lemah. Pemusat dan penormal dari S adalah subgrup dari G , dan dapat memberikan wawasan tentang struktur G .

Definisi juga berlaku untuk monoid dan semigrup.

Dalam teori cincin, pemusat himpunan bagian dari gelanggang didefinisikan sehubungan dengan operasi semigrup (perkalian) gelanggang. Pemusat dari bagian dari gelanggang R adalah subgelanggang dari R . Artikel ini juga membahas pemusat dan penormal di Aljabar Lie.

Idealizer dalam semigrup atau gelanggang adalah konstruksi lain yang sejajar dengan pemusat dan penormal.

pemusat dari himpunan bagian S dari grup (atau semigroup) G didefinisikan sebagai^[3]

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Jika tidak ada ambiguitas tentang grup tersebut, G dapat dihilangkan dari notasi. Jika S = {a} adalah himpunan tunggal, dirumuskan denagn C_G(a) bukannya C_G({a}). Notasi lain yang kurang umum untuk pemusat adalah Z( a ), yang sejajar dengan notasi untuk pusat. Dengan notasi terakhir ini, seseorang harus berhati-hati untuk menghindari kebingungan antara pusat dari sebuah grup G, Z(G), dan pemusat dari elemen g in G, Z(g).

Penormal dari S dalam grup (atau semigrup) G didefinisikan sebagai

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.}$

Definisi tersebut serupa tetapi tidak identik. Jika g di centralizer dari S dan s ada di S , maka itu gs = sg, tapi jika g ada di penormal, maka gs = tg untuk beberapa t pada S , dengan t mungkin berbeda dari s . Artinya, elemen sentralisator S dengan S , tetapi elemen penormal S hanya perlu ngelaju dengan S sebagai satu himpunan . Ketentuan notasi yang sama yang disebutkan di atas untuk pemusat juga berlaku untuk penormal. Penormal tidak boleh bingung dengan penutupan normal.

Jika R adalah gelanggang atau aljabar di atas bidang, dan S adalah himpunan bagian dari R , maka pemusat dari S persis seperti yang didefinisikan untuk grup, dengan R di tempat G .

Jika ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ is a aljabar Lie (atau gelanggang Lie) dengan produk Lie [ x , y ], lalu pemusat dari himpunan bagian S dari ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ didefinisikan sebagai^[4]

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Definisi pemusat untuk gelanggang Lie dikaitkan dengan definisi gelanggang dengan cara berikut. Jika R adalah cincin asosiatif, maka R dapat diberi produk braket [x,y] = xy − yx. Tentu xy = yx jika dan hanya jika [x,y] = 0. Jika kita menunjukkan himpunan R dengan produk braket sebagai L _R , maka jelaskan pemusat gelanggang dari S pada R sama dengan Pemusat gelanggang Lie dari S pada L_R.

Penormal dari subset S dari aljabar Lie (atau gelanggang Lie) ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ didefinisikan oleh^[4]

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Meskipun ini adalah penggunaan standar dari istilah "penormal" dalam aljabar Lie, konstruksi ini sebenarnya adalah pengidealisasi dari himpunan S pada ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$. Jika S adalah subgrup aditif dari ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$, kemudian ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$ adalah subgelanggang Lie terbesar (atau subaljabar Lie, tergantung kasusnya) di mana S adalah Lie ideal.^[5]

Misalkan ${\displaystyle S'}$ menunjukkan pemusat dari ${\displaystyle S}$ di semigroup ${\displaystyle A}$, yaitu ${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs\ {\mbox{for}}\ {\mbox{every}}\ s\in S\}.}$ Kemudian ${\displaystyle S'}$ membentuk subgrup dan ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$, yaitu komutan adalah dengan bikomutan.

Sumber:^[6]

• Pemusat dan penormal S keduanya merupakan subgrup dari G .
• Jelas, C_G(S) ⊆ N_G(S). Faktanya, C_G(S) merupakan subgrup normal dari N_G(S).
• C_G(C_G(S)) berisi S , tapi C_G(S) tidak perlu mengandung S . Penahanan terjadi tepat ketika S adalah abelian.
• Jika H adalah subgrup dari G , maka N_G(H) berisi H .
• Jika H adalah subgrup dari G , maka subgrup terbesar dari G di mana H normal adalah subgrup N_G(H).
• Jika S adalah himpunan bagian dari G sehingga semua elemen S saling berpindah-pindah, maka subgrup terbesar dari G yang pusatnya berisi S adalah subgrup C_G(S).
• Sebuah subgrup H dari sebuah grup G disebut subgrup yang menormalkan diri sendiri G if N_G(H) = H.
• Tepat di tengah G C_G(G) dan G adalah grup abelian jika dan hanya jika C_G(G) = Z(G) = G.
• Untuk himpunan tunggal, C_G(a) = N_G(a).
• Secara simetri, jika S dan T adalah dua himpunan bagian dari G , T ⊆ C_G(S) jika dan hanya jika S ⊆ C_G(T).
• Untuk subgrup H dari grup G, teorema N/C menyatakan bahwa grup faktor N_G(H)/C_G(H) adalah isomorfik menjadi subgrup dari Aut(H).

• Komutator
• Teorema pemusat ganda
• Idealizer
• Pengganda dan pemusat (ruang Banach)
• Subgrup penstabil

1. ^ Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems Through the Weyr Form. Oxford University Press. hlm. 65. ISBN 978-0-19-979373-0. 
2. ^ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups. European Mathematical Society. hlm. 30. ISBN 978-3-03719-032-6. 
3. ^ Jacobson (2009), p. 41
4. ^ ^{a b} Jacobson 1979, p.28.
5. ^ Jacobson 1979, p.57.
6. ^ Isaacs 2009, Chapters 1−3.

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, 100 (edisi ke-reprint of the 1994 original), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, 1 (edisi ke-2), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (edisi ke-republication of the 1962 original), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927