Rasio emas

Dalam matematika, dua nilai dianggap berada dalam hubungan rasio emas (${\displaystyle \varphi }$) jika rasio antara jumlah kedua nilai itu terhadap nilai yang besar sama dengan rasio antara nilai besar terhadap nilai kecil. Nilai yang lebih besar dilambangkan dengan huruf a, sedangkan nilai yang lebih kecil dilambangkan dengan huruf b. Gambar di sebelah kanan menggambarkan hubungan geometrik yang jika dirumuskan secara aljabar adalah sebagai berikut:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi }$

dimana huruf Yunani phi (${\displaystyle \varphi }$) mewakili rasio emas. Nilainya adalah:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\ldots .}$^[1]

Setidaknya sejak Abad Renaisans, banyak seniman dan arsitek telah membuat proporsi karya sesuai dengan rasio emas—terutama dalam bentuk persegi emas, yaitu perbandingan sisi panjang terhadap sisi pendek sesuai dengan nilai rasio emas—dipercaya proporsi ini secara estetika sangat ideal. Sebuah persegi panjang emas dapat dipotong menjadi persegi dan persegi panjang kecil dengan rasio aspek yang sama persis. Para ahli matematika sejak zaman Euclid telah mempelajari rasio emas karena sifatnya yang unik dan menarik. Rasio emas juga digunakan dalam analisis pasar keuangan, serta strategi seperti retraksi Fibonacci.

Rasio emas sering kali disebut bagian emas (Latin: sectio aurea) atau rata-rata emas.^[2][3][4] Nama lainnya antara lain rasio ekstrem dan rata-rata,^[5] bagian tengah, proporsi ilahiah, bagian ilahiah (Latin: sectio divina), proporsi emas, potongan emas,^[6] angka emas, dan rata-rata Phidias.^[7][8][9]

Dua nilai a dan b dinyatakan berada dalam hubungan rasio emas φ jika:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$

Salah satu cara untuk menemukan nilai φ adalah dengan memulai pembagian sisa. Dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebutnya dalam b/a = 1/φ,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }},}$

hal ini menunjukkan

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}$

Dikalikan dengan φ menghasilkan

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

yang dapat diatur menjadi

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

Dengan menggunakan formula kuadrat menghasilkan hasil positif yakni sebagai berikut.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4(1)(-1)}}}{2(1)}}\\&={\frac {1\pm {\sqrt {1+4}}}{2}}\\&={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}\end{aligned}}}$

Dari perhitungan persamaan kuadrat, dapat diambil nilai positifnya, yakni sebagai berikut.

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.6180339887\dots }$$

Rasio emas telah memikat kaum intelektual barat dari berbagai latar belakang disiplin ilmu selama sekurangnya 2.400 tahun. Menurut Mario Livio:

Sekian banyak cendekiawan matematika dari berbagai era, seperti Pythagoras dan Euclid dari Yunani kuno, sampai ahli matematika Italia abad pertengahan Leonardo da Pisa dan ahli astronomi Renaissance Johannes Kepler, hingga tokoh-tokoh ilmuwan seperti pakar fisika dari Oxford Roger Penrose, telah menghabiskan banyak waktu untuk memahami rasio sederhana ini dengan sifat-sifatnya. Akan tetapi ketakjuban akan rasio emas ini tidak hanya terbatas di kalangan ahli matematika saja. Ahli biologi, seniman, musisi, sejarawan, arsitek, psikolog, dan bahkan ahli mistik telah berdebat mengenai hakikat keserbaadaannya dan daya tariknya. Bahkan, mungkin patut dikatakan bahwa rasio emas telah mengilhami begitu banyak pemikir dari berbagai disiplin ilmu dibandingkan angka apapun dalam sejarah matematika.^[10]

Ahli matematika Yunani kuno pertama kali mempelajari hal yang kini dikenal sebagai rasio emas karena kerap muncul dalam geometri. Pembagian garis menjadi "rasio ekstrem dan rata-rata" (bagian emas) sangat penting dalam geometri pentagram dan pentagon. Bangsa Yunani biasanya mengaitkan penemuan konsep ini dengan Pythagoras atau pengikutnya. Pentragram yang dibubuhi pentagon menjadi lambang kaum pendukung paham Pythagoras.

Elemen Euclid (Yunani: Στοιχεῖα) memberikan definisi tertulis pertama mengenai apa yang disebut sebagai rasio emas: "Sebuah garis dikatakan telah dipotong dalam rasio ekstrem dan rata-rata ketika panjang seluruh garis berbanding ruas panjang adalah sama dengan ruas panjang berbanding ruas pendek."^[5] Euclid menjelaskan cara memotong sebuah garis dalam "rasio ekstrem dan rata-rata", yaitu rasio emas.^[11] Di seluruh Element, beberapa pengajuan gagasan (teorema dalam istilah modern) serta pembuktiannya menggunakan rasio emas.^[12] Beberapa dari gagasan yang diajukan ini menunjukkan bahwa rasio emas adalah bilangan irasional.

Nama "rasio ekstrem dan rata-rata" adalah istilah utama yang digunakan pada abad ke-3 SM ^[5] hingga sekitar abad ke-18 M.

Sejarah modern rasio emas dimulai dengan karya Luca Pacioli De divina proportione pada tahun 1509, yang memukau para seniman, arsitek, ilmuwan, dan mistik dengan rumusan matematika dan sifat-sifat istimewa rasio emas.

Perkiraan inversi rasio emas dalam bentuk pecahan desimal, disebutkan bernilai "sekitar 0,6180340," pertama kali ditulis pada 1597 oleh Michael Maestlin dari Universitas Tübingen, dalam suratnya untuk mantan muridnya Johannes Kepler.^[13]

Sejak abad ke-20, rasio emas diwakili dengan huruf Yunani Φ atau φ (phi, berdasarkan nama Phidias, (pematung yang disebut-sebut menggunakan rasio ini) atau secara tidak lazim juga dilambangkan dengan τ (tau, huruf pertama untuk kata dalam Yunani kuno τομή yang berarti memotong.^[2][14]

Liniwaktu menurut Priya Hemenway.^[15]

• Phidias (490–430 SM) membuat patung-patung Parthenon yang dinilai mengandung rasio emas.
• Plato (427–347 SM), dalam karyanya Timaeus, menyebutkan lima bangun bentuk yang umum (Bangun Plato: tetrahedron, kubus, oktahedron, dodekahedron, dan ikosahedron), beberapa diantaranya terkait rasio emas.^[16]
• Euclid (sekitar 325–265 SM), dalam karyanya Elemen, memberikan catatan pertama definisi rasio emas, yang disebutnya gave "rasio ekstrem dan rata-rata" (Greek: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).^[5]
• Fibonacci (1170–1250) menyebutkan deret bilangan yang kini dinamai sesuai namanya dalam karyanya Liber Abaci; rasio deret elemen bilangan Fibonacci mendekati rasio emas.
• Luca Pacioli (1445–1517) mendefinisikan rasio emas sebagai "rasio ilahiah" dalam karyanya Divina Proportione.
• Michael Maestlin (1550–1631) menerbitkan perkiraan pertama yang diketahui mengenai (inversi) rasio emas sebagai pecahan desimal.
• Johannes Kepler (1571–1630) membuktikan bahwa rasio emas adalah limit rasio keberlanjutan Fibonacci numbers,^[17] dan menggambarkan rasio emas sebagai "permata berharga": "Geometri memiliki dua khazanah: yang pertama adalah Teorema Pythagoras, dan yang lainnya adalah pembagian garis menjadi rasio ekstrem dan rata-rata; yang pertama kita dapat mengandaikannya sebagai emas, yang kedua dapat kita namakan sebagai permata berharga." Kedua khazanah ini berpadu dalam segitiga Kepler.
• Charles Bonnet (1720–1793) menyoroti bahwa spiral tanaman phyllotaxis berputar searah jarum jam dan berlawanan jarum jam biasanya sesuai deret bilangan Fibonacci.
• Martin Ohm (1792–1872) dipercaya sebagai orang yang pertama menggunakan istilah goldener Schnitt (bagian emas) untuk menggambarkan rasio ini pada tahun 1835.^[18]
• Édouard Lucas (1842–1891) memberikan urutan angka yang kini disebut deret bilangan Fibonacci.
• Mark Barr (abad ke-20 M) mengusulkan huruf Yunani phi (φ), sebagai inisial pematung ternama Yunani, Phidias, sebagai lambang rasio emas.^[19]
• Roger Penrose (lahir 1931) menemukan pola simetris yang menggunakan rasio emas dalam bidang tegel aperiodik, yang mengarah kepada temuan snxnsn baru mengenai quasikristal.

Salahsatu makhluk hidup sederhana yang memiliki kaidah ini adalah Rasio emas pada kerang.

De Divina Proportione, sebuah buku tiga volume karya Luca Pacioli, diterbitkan pada 1509. Pacioli, seorang pendeta Fransiskan, dikenal sebagai ahli matematika, tetapi ia diketahui tertarik dan terlatih dalam bidang seni. De Divina Proportione mengeksplorasi matematika dari rasio emas. Sering disebutkan bahwa Pacioli adalah penganjur penerapan rasio emas untuk menghasilkan proporsi yang harmonis, indah, dan menyenangkan. Livio menunjukkan bahwa penafsiran ini salah akibat salah penerjemahan yang dirunut terjadi pada 1799, bahwa Pacioli sesungguhnya menganjurkan sistem Vitruvius untuk proporsi rasional.^[2] Pacioli juga melihat signifikansi iman Katolik dalam rasio ini, hal inilah yang mendorongnya memberi judul karyanya seperti demikian. Terdapat ilustrasi bangun karya Leonardo da Vinci, sahabat dan kolega Pacioli, De Divina Proportione menjadi pengaruh utama bagi seniman dan arsitek.

Fasad dan elemen Parthenon serta bagian lainnya disebut-sebut dipengaruhi persegi panjang emas.^[20] Sementara para ilmuwan lainnya menolak anggapan bahwa Yunani menghubungkan keindahan dengan rasio emas.

• "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Golden Section in Photography: Golden Ratio, Golden Triangles, Golden Spiral
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Golden Ratio". MathWorld. 
• "Researcher explains mystery of golden ratio". PhysOrg. December 21, 2009. .
• Knott, Ron. "The Golden section ratio: Phi".  Information and activities by a mathematics professor.
• The Pentagram & The Golden Ratio. Green, Thomas M. Updated June 2005. Archived November 2007. Geometry instruction with problems to solve.
• Schneider, Robert P.. "A Golden Pair of Identities in the Theory of Numbers". arΧiv:1109.3216.  Proves formulas that involve the golden mean and the Euler totient and Möbius functions.