Teorema Jacobi (geometri)

Dalam geometri bidang, sebuah titik Jacobi merupakan sebuah titik di bidang Euklides yang ditentukan oleh sebuah segitiga ${\displaystyle ABC}$ dan rangkap tiga sudut ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, dan ${\displaystyle \gamma }$. Adanya informasi tersebut sudah cukup untuk menentukan ketiga titik ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, dan ${\displaystyle Z}$ sehingga ${\displaystyle \angle ZAB=\angle YAC=\alpha }$, ${\displaystyle \angle XBC=\angle ZBA=\beta }$, dan ${\displaystyle \angle YCA=\angle XCB=\gamma }$. Berdasarkan teorema dari Karl Freidrich Andreas Jacobi, garis ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$, ${\displaystyle CZ}$ adalah setumpu,^[1][2][3] di sebuah titik ${\displaystyle N}$ yang disebut sebagai titik Jacobi.^[3]

Titik Jacobi merupakan sebuah perumuman dari titik Fermat, yang diperoleh dengan memisalkan ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }}$ dan segitiga ${\displaystyle ABC}$ tidak memiliki sudut yang lebih besar atau sama dengan ${\displaystyle 120^{\circ }}$.

Jika ketiga sudut tersebut sama, maka ${\displaystyle N}$ yang terletak di hiperbola persegi panjang dinyatakan dalam bentuk koordinat luas dengan

${\displaystyle \displaystyle yz(\cot B-\cot C)+zx(\cot C-\cot A)+xy(\cot A-\cot B)=0}$

yang merupakan persamaan untuk hiperbola Kiepert. Setiap pilihan dari tiga sudut yang sama menentukan sebuah pusat segitiga.

1. ^ de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. Dynamic Mathematics Learning. hlm. 138–140. ISBN 9780557102952. 
2. ^ Glenn T. Vickers, "Reciprocal Jacobi Triangles and the McCay Cubic", Forum Geometricorum 15, 2015, 179–183. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201518.pdf
3. ^ ^{a b} Glenn T. Vickers, "The 19 Congruent Jacobi Triangles", Forum Geometricorum 16, 2016, 339–344. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201642.pdf