Teorema limit seragam

Dalam matematika, teorema limit seragam menyatakan bahwa limit seragam dari suatu barisan fungsi kontinu juga fungsi kontinu.

Lebih tepatnya, diberikan ${\displaystyle X}$ adalah suatu ruang topologis dan ${\displaystyle Y}$ adalah ruang metrik. Misalkan ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}$ adalah barisan fungsi yang konvergen seragam ke fungsi ${\displaystyle f\colon X\to Y}$. Menurut teorema limit seragam, jika fungsi ${\displaystyle f_{n}}$ adalah fungsi kontinu (untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle n}$), maka limit fungsinya (yaitu fungsi ${\displaystyle f}$) adalah fungsi kontinu juga.

Teorema ini tidak berlaku jika hipotesis konvergensi seragam diganti dengan konvergensi titik demi titik. Sebagai contoh, misalkan ${\displaystyle f_{n}\colon \left[0,\,1\right]\to \mathbb {R} }$ adalah barisan fungsi ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$. Dari definisi fungsi ${\displaystyle f_{n}}$, terlihat jelas bahwa fungsi ${\displaystyle f_{n}}$ adalah fungsi kontinu, untuk setiap bilangan asli ${\displaystyle n}$. Akan tetapi, barisan tersebut konvergen titik demi titik ke suatu fungsi ${\displaystyle f}$ yang diskontinu, dengan $${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ccl}0&&{\text{untuk }}x\in \left[0,\,1\right)\\1&&{\text{untuk }}x=1\end{array}}\right.}$$ Contoh lainnya dapat dilihat pada gambar di bagian kanan atas halaman ini.

Dalam istilah pada ruang fungsi, teorema limit seragam menyatakan bahwa ruang ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\,Y)}$ dari semua fungsi kontinuu dari ruang topologis ${\displaystyle X}$ ke ruang metrik ${\displaystyle Y}$ adalah himpunan bagian tertutup dari ${\displaystyle Y^{X}}$ terhadap norma seragam. Pada kasus dimana ${\displaystyle Y}$ merupakan ruang metrik lengkap, hal tersebut mengakibatkan ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\,Y)}$ juga merupakan ruang metrik lengkap. Lebih lanjut, jika ${\displaystyle Y}$ adalah ruang Banach, maka ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\,Y)}$ itu sendiri adalah ruang Banach terhadap norma seragam.

Teorema limit seragam juga berlaku jika hipotesis fungsi kontinu diganti dengan kontinu seragam. Dengan kata lain, jika ${\displaystyle X}$ dan ${\displaystyle Y}$ adalah ruang metrik dan ${\displaystyle f_{n}\colon X\to Y}$ adalah barisan fungsi kontinu seragam yang konvergen seragam ke fungsi ${\displaystyle f}$, maka fungsi ${\displaystyle f}$ juga fungsi yang kontinu seragam.

Untuk membuktikan kekontinuan dari fungsi ${\displaystyle f}$ pada interval ${\displaystyle \left[a,\,b\right]\subseteq \mathbb {R} }$ dengan fungsi jarak beda mutlak, maka berdasarkan definisi kekontinuan, harus ditunjukkan bahwa $${\displaystyle \left(\forall \varepsilon >0\right)\left(\exists \delta >0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta \right)\implies \left(\left|f(x)-f(c)\right|<\varepsilon \right)\right)}$$ untuk setiap ${\displaystyle c\in \left[a,\,b\right]}$.

Diambil sembarang ${\displaystyle c\in \left[a,\,b\right]}$ dan suatu nilai ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Berdasarkan hipotesis,

1. Diketahui bahwa fungsi ${\displaystyle f_{n}}$ konvergen seragam ke ${\displaystyle f}$. Berdasarkan definisi konvergensi seragam, maka $${\displaystyle \left(\exists k\in \mathbb {N} \right)\left(\left(n\geq k\right)\implies \left(\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}$$ untuk sembarang ${\displaystyle x\in \left[a,\,b\right]}$. Jika dipilih ${\displaystyle n=k}$, maka berlaku pertidaksamaan $${\displaystyle \left|f_{k}(x)-f(x)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}$$ untuk sembarang ${\displaystyle x\in \left[a,\,b\right]}$. Oleh karena ${\displaystyle c\in \left[a,\,b\right]}$, maka berlaku juga $${\displaystyle \left|f_{k}(c)-f(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}$$
2. Diketahui bahwa fungsi ${\displaystyle f_{n}}$ adalah fungsi kontinu pada interval ${\displaystyle \left[a,\,b\right]}$, untuk setiap ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Berdasarkan definisi kontinuu, maka $${\displaystyle \left(\exists \delta _{n}>0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta _{0}\right)\implies \left(\left|f_{n}(x)-f_{n}(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}$$ Oleh karena ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, maka $${\displaystyle \left(\exists \delta _{k}>0\right)\left(\left(\left|x-c\right|<\delta _{0}\right)\implies \left(\left|f_{k}(x)-f_{k}(c)\right|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}$$

Apabila dipilih ${\displaystyle \delta =\delta _{k}}$, maka semua pertidaksamaan di atas akan terpenuhi, sehingga dengan menggunakan pertidaksamaan segitiga, diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f(x)-f_{k}(x)+f_{k}(x)-f_{k}(c)+f_{k}(c)-f(c)\right|&\leq \underbrace {\left|f(x)-f_{k}(x)\right|} _{\text{Konvergensi seragam}}+\underbrace {\left|f_{k}(x)-f_{k}(c)\right|} _{{\text{Kekontinuan dari }}f_{k}(x)}+\underbrace {\left|f_{k}(c)-f(c)\right|} _{\text{Konvergensi seragam}}<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\\\left|f(x)-f(c)\right|&<\varepsilon \end{aligned}}}$$ Oleh karena nilai ${\displaystyle c}$ dipilih secara sembarang, maka terbukti bahwa fungsi ${\displaystyle f}$ kontinuu pada ${\displaystyle \left[a,\,b\right]}$.

Untuk membuktikan kekontinuan dari fungsi ${\displaystyle f}$ pada suatu ruang topologis ${\displaystyle X}$ dengan suatu ruang metrik ${\displaystyle Y}$, maka berdasarkan definisi kekontinuan, harus ditunjukkan bahwa untuk setiap ${\displaystyle \varepsilon >0}$, terdapat suatu persekitaran ${\displaystyle S}$ dari setiap titik ${\displaystyle x\in X}$ sedemikian sehingga $${\displaystyle \left(\forall y\in S\right)\implies \left(\|f(x)-f(y)\|<\varepsilon \right)}$$

Diambil sembarang ${\displaystyle x\in X}$ dan suatu nilai ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Berdasarkan hipotesis,

1. Diketahui bahwa fungsi ${\displaystyle f_{n}}$ konvergen seragam ke ${\displaystyle f}$. Berdasarkan definisi konvergensi seragam, maka $${\displaystyle \left(\exists k\in \mathbb {N} \right)\left(\forall a\in X\right)\left(\left(n\geq k\right)\implies \left(\|f_{n}(a)-f(a)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)\right)}$$ Jika dipilih ${\displaystyle n=k}$, maka berlaku pertidaksamaan $${\displaystyle \|f_{k}(a)-f(a)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}$$ untuk sembarang ${\displaystyle a\in X}$. Oleh karena ${\displaystyle x\in X}$, maka berlaku $${\displaystyle \|f_{k}(x)-f(x)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}$$
2. Diketahui bahwa fungsi ${\displaystyle f_{n}}$ adalah fungsi kontinu pada ruang topologis ${\displaystyle X}$, untuk setiap ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Berdasarkan definisi kontinuu, maka $${\displaystyle \left(\exists S_{x}\right)\left(\forall y\in S_{x}\right)\implies \left(\|f_{n}(x)-f_{n}(y)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)}$$ Oleh karena ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, maka $${\displaystyle \left(\exists S_{x}\right)\left(\forall y\in S_{x}\right)\implies \left(\|f_{k}(x)-f_{k}(y)\|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}\right)}$$

Diambil sembarang ${\displaystyle y\in S_{x}}$. Dengan menggunakan aksioma pertidaksamaan segitiga pada ruang metrik ${\displaystyle Y}$, diperoleh $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f(x)-f_{k}(x)+f_{k}(x)-f_{k}(y)+f_{k}(y)-f(y)\|&\leq \underbrace {\|f(x)-f_{k}(x)\|} _{\text{Konvergensi seragam}}+\underbrace {\|f_{k}(x)-f_{k}(y)\|} _{{\text{Kekontinuan dari }}f_{k}(x)}+\underbrace {\|f_{k}(y)-f(y)\|} _{\text{Konvergensi seragam}}<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\\\|f(x)-f(y)\|&<\varepsilon \end{aligned}}}$$ Oleh karena nilai ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ dipilih secara sembarang, maka terbukti bahwa fungsi ${\displaystyle f}$ kontinuu pada ${\displaystyle X}$.

Terdapat beberapa variasi dari teorema limit seragam yang digunakan dalam analisis kompleks, walau dengan modifikasi asumsi.

• James Munkres (1999). Topology [Topologi] (dalam bahasa Inggris) (edisi ke-2nd). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2. 

• E. M. Stein, R. Shakarachi (2003). Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2), Princeton University Press.

• E. C. Titchmarsh (1939). The Theory of Functions, 2002 Reprint, Oxford Science Publications.