Teori Galois

Dalam matematika, Teori Galois menyediakan hubungan antara teori medan dan teori grup. Konjektur menggunakan teori Galois, masalah-masalah tertentu dalam teori medan dapat direduksi menjadi teori grup, yang dalam arti tertentu lebih sederhana dan lebih dipahami. Ini telah digunakan untuk memecahkan masalah klasik termasuk menunjukkan bahwa dua masalah kuno tidak dapat diselesaikan seperti yang dinyatakan (menggandakan kubus dan melipatgandakan sudut); menunjukkan bahwa tidak ada rumus kuintik; dan menunjukkan poligon yang dapat dibangun.

Subjek ini dinamai Évariste Galois, yang memperkenalkannya untuk mempelajari akar dari polinomial dan mencirikan persamaan polinomial yang dipecahkan oleh radikal dalam hal sifat dari kelompok permutasi dari akarnya — sebuah persamaan adalah dapat diselesaikan oleh akar jika akarnya dapat diekspresikan dengan rumus yang hanya melibatkan bilangan bulat, ekspresi radikal, dan empat operasi aritmetika dasar.

Teori ini telah dipopulerkan di antara ahli matematika dan dikembangkan oleh Richard Dedekind, Leopold Kronecker, Emil Artin, dan orang lain yang menafsirkan grup permutasi akar sebagai grup automorfisme dari ekstensi bidang.

Teori Galois telah digeneralisasikan menjadi hubungan Galois dan teori Galois Grothendieck.

Kelahiran dan perkembangan teori Galois disebabkan oleh pertanyaan berikut, yang merupakan salah satu pertanyaan matematika terbuka utama hingga awal abad ke-19:

Apakah ada rumus untuk akar persamaan polinomial derajat kelima (atau lebih tinggi) dalam hal koefisien polinomial, hanya menggunakan operasi aljabar biasa (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) dan penerapan akar (akar kuadrat, akar pangkat tiga, dll)?

Teorema Abel–Ruffini memberikan contoh berlawanan yang membuktikan bahwa ada persamaan polinomial yang rumus tersebut tidak dapat ada. Teori Galois memberikan jawaban yang jauh lebih lengkap untuk pertanyaan ini, dengan menjelaskan mengapa mungkin untuk menyelesaikan beberapa persamaan, termasuk semua persamaan derajat empat atau lebih rendah, dengan cara di atas, dan mengapa tidak mungkin untuk sebagian besar persamaan derajat lima atau lebih tinggi. Lebih jauh, ini menyediakan cara untuk menentukan apakah persamaan tertentu dapat diselesaikan yang jelas secara konseptual dan mudah diekspresikan sebagai algoritma.

Teori Galois juga memberikan wawasan yang jelas tentang pertanyaan-pertanyaan tentang masalah dalam konstruksi kompas dan garis lurus. Ini memberikan karakterisasi elegan dari rasio panjang yang dapat dibangun dengan metode ini. Dengan menggunakan ini, menjadi relatif mudah untuk menjawab masalah klasik geometri seperti

1. Yang poligon beraturan yang dapat dibangun?^[1]
2. Mengapa tidak mungkin untuk segitiga pada setiap sudut menggunakan kompas dan garis tegak lurus?^[1]
3. Mengapa menggandakan kubus tidak mungkin dilakukan dengan metode yang sama?

Teori Galois berasal dari studi tentang fungsi simetris, koefisien dari sebuah polinomial monik adalah (sampai tanda) polinomial simetris elementer di akar. Misalnya, (x – a)(x – b) = x² – (a + b)x + ab, dimana 1, a + b dan ab adalah polinomial dasar derajat 0, 1 dan 2 dalam dua variabel.

Ini pertama kali diresmikan oleh ahli matematika Prancis abad ke-16 François Viète, dalam Rumus Viète, untuk kasus akar nyata positif. Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton,^[2] ekspresi koefisien polinomial dalam hal akar (tidak hanya untuk akar positif) pertama kali dipahami oleh ahli matematika Prancis abad ke-17 Albert Girard; Hutton menulis:

...[Girard adalah] orang pertama yang memahami doktrin umum pembentukan koefisien pangkat dari penjumlahan akar dan produknya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahkan pangkat dari akar persamaan apa pun.

Dalam urat ini, diskriminan adalah fungsi simetris dalam akar yang mencerminkan sifat-sifat akar, nilai nol jika dan hanya jika polinomial memiliki akar ganda, dan untuk polinomial kuadrat dan kubik bernilai positif jika dan hanya jika semua akar nyata dan berbeda, dan negatif jika dan hanya jika terdapat sepasang akar konjugasi kompleks yang berbeda. Lihat Diskriminan:Sifat dasar untuk detailnya.

Kubik pertama kali sebagian diselesaikan oleh ahli matematika Italia abad ke-15-16 Scipione del Ferro, yang tidak mempublikasikan hasilnya; metode ini, meskipun, hanya menyelesaikan satu jenis persamaan kubik. Solusi ini kemudian ditemukan kembali secara independen pada tahun 1535 oleh Niccolò Fontana Tartaglia, yang membaginya dengan Gerolamo Cardano, memintanya untuk tidak menerbitkannya. Cardano kemudian memperluas ini ke banyak kasus lain, dengan menggunakan argumen serupa; lihat detail selengkapnya di Metode Cardano. Setelah penemuan karya del Ferro, ia merasa bahwa metode Tartaglia bukan lagi rahasia, dan karenanya ia menerbitkan solusinya pada tahun 1545. Ars Magna.^[3] Muridnya Lodovico Ferrari memecahkan masalah polinomial kuartik; solusinya juga disertakan Ars Magna. Namun, dalam buku ini, Cardano tidak memberikan "rumus umum" untuk penyelesaian persamaan kubik, karena ia tidak memiliki bilangan kompleks yang tersedia, atau notasi aljabar untuk dapat menggambarkan persamaan kubik umum. Dengan keunggulan notasi modern dan bilangan kompleks, rumus-rumus dalam buku ini berfungsi dalam kasus umum, tapi Cardano tidak mengetahui hal ini. Adalah Rafael Bombelli yang berhasil memahami cara bekerja dengan bilangan kompleks untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan kubik.

Langkah selanjutnya adalah kertas 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations oleh matematikawan Prancis-Italia Joseph Louis Lagrange, dalam metode resolusi Lagrange, di mana ia menganalisis solusi kubik dan kuartik Cardano dan Ferrari dengan mempertimbangkannya dalam istilah permutasi dari akar, yang menghasilkan polinomial tambahan dengan derajat yang lebih rendah, memberikan pemahaman terpadu tentang solusi dan meletakkan dasar untuk teori grup dan teori Galois. Yang terpenting, bagaimanapun, dia tidak mempertimbangkan komposisi permutasi. Metode Lagrange tidak meluas ke persamaan kuintik atau lebih tinggi, karena resolvent memiliki derajat yang lebih tinggi.

Quintic hampir terbukti tidak memiliki solusi umum oleh radikal oleh Paolo Ruffini pada tahun 1799, yang wawasan utamanya adalah menggunakan permutasi grup , bukan hanya permutasi tunggal. Solusinya mengandung celah, yang dianggap Cauchy kecil, meskipun ini tidak ditambal sampai karya matematikawan Norwegia Niels Henrik Abel, yang menerbitkan bukti pada tahun 1824, sehingga menetapkan Teorema Abel-Ruffini.

Sementara Ruffini dan Abel menetapkan bahwa kuintik umum tidak dapat diselesaikan, beberapa quintics tertentu dapat dipecahkan, seperti x⁵ - 1 = 0, dan kriteria yang tepat untuk menentukan polinomial kuintik yang diberikan atau lebih tinggi dapat dipecahkan atau tidak diberikan oleh Évariste Galois, yang menunjukkan bahwa polinomial dapat dipecahkan atau tidak sama dengan apakah grup permutasi akarnya atau tidak dalam istilah modern, its Galois group memiliki struktur tertentu dalam istilah modern, apakah itu adalah kelompok yang dapat dipecahkan. Kelompok ini selalu dapat dipecahkan untuk polinomial dengan derajat empat atau kurang, tetapi tidak selalu demikian untuk polinomial derajat lima dan lebih besar, yang menjelaskan mengapa tidak ada solusi umum dalam derajat yang lebih tinggi.

Pada tahun 1830 Galois (pada usia 18) mengirimkan ke Paris Academy of Sciences sebuah memoar tentang teorinya tentang solvabilitas oleh radikal; Makalah Galois akhirnya ditolak pada tahun 1831 karena terlalu samar dan untuk memberikan kondisi dalam hal akar persamaan, bukan koefisiennya. Galois kemudian tewas dalam duel pada tahun 1832, dan kertasnya, "Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux", tetap tidak diterbitkan sampai tahun 1846 ketika diterbitkan oleh Joseph Liouville disertai dengan beberapa penjelasannya sendiri.^[4] Prior to this publication, Liouville announced Galois' result to the Academy in a speech he gave on 4 July 1843.^[5] Menurut Allan Clark, karakterisasi Galois "secara dramatis menggantikan karya Abel dan Ruffini."^[6]

Teori Galois sangat sulit dipahami oleh orang-orang sezamannya, terutama pada tingkat di mana mereka dapat mengembangkannya. Misalnya, dalam komentarnya tahun 1846, Liouville benar-benar melewatkan inti teori-grup dari metode Galois.^[7] Joseph Alfred Serret yang menghadiri beberapa ceramah Liouville, termasuk teori Galois dalam bukunya tahun 1866 (edisi ketiga) Cours d'algèbre supérieure. Murid Serret, Camille Jordan, memiliki pemahaman yang lebih baik yang tercermin dalam bukunya tahun 1870 Traité des substitutions et des équations algébriques. Di luar Prancis, teori Galois tetap lebih tidak jelas untuk periode yang lebih lama. Di Inggris, Cayley gagal untuk memahami kedalamannya dan buku teks aljabar Inggris yang populer bahkan tidak menyebutkan teori Galois sampai jauh setelah pergantian abad. Di Jerman, Tulisan Kronecker lebih berfokus pada hasil Abel. Dedekind menulis sedikit tentang teori Galois, tetapi memberi ceramah tentangnya di Göttingen pada tahun 1858, menunjukkan pemahaman yang sangat baik.^[8] Buku Eugen Netto tahun 1880-an, berdasarkan Traité Jordan, membuat teori Galois dapat diakses oleh audiens Jerman dan Amerika yang lebih luas seperti halnya buku teks aljabar Heinrich Martin Weber tahun 1895.^[9]

Diketahui polinomial, mungkin beberapa akar dihubungkan oleh berbagai persamaan aljabar s. Misalnya, mungkin untuk dua akar, katakanlah A dan B, bahwa A² + 5B³ = 7. Ide utama dari teori Galois adalah untuk mempertimbangkan permutasi s (atau penataan ulang) dari akar sehingga persamaan aljabar apapun yang dipenuhi oleh akar adalah masih terpenuhi setelah akar. Awalnya, teori telah dikembangkan untuk persamaan aljabar yang koefisiennya adalah bilangan rasional. Ini meluas secara alami ke persamaan dengan koefisien dalam bidang apa pun, tetapi ini tidak akan dipertimbangkan dalam contoh sederhana di bawah ini.

Permutasi ini bersama-sama membentuk grup permutasi, juga disebut grup Galois dari polinomial, yang secara eksplisit dijelaskan dalam contoh berikut.

Pertimbangkan persamaan kuadrat

${\displaystyle x^{2}-4x+1=0.}$

Dengan menggunakan rumus kuadrat, kita menemukan bahwa kedua akar tersebut adalah

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

Contoh persamaan aljabar dipenuhi oleh A dan B termasuk

${\displaystyle A+B=4,}$

dan

${\displaystyle AB=1.}$

Jika kita menukar A dan B di salah satu dari dua persamaan terakhir kita mendapatkan pernyataan benar lainnya. Misalnya persamaan A + B = 4 menjadi B + A = 4. Lebih umum benar bahwa ini berlaku untuk setiap yang mungkin hubungan aljabar antara A dan B sedemikian rupa sehingga semua koefisien adalah bilangan rasional; yaitu, dalam hubungan seperti itu, menukar A dan B menghasilkan relasi benar lainnya. Ini hasil dari teori polinomial simetris, yang, dalam hal ini, dapat diganti dengan manipulasi rumus yang melibatkan teorema binomial. (Orang mungkin keberatan bahwa A dan B terkait dengan persamaan aljabar A − B − 2√3 = 0, yang tidak tetap benar saat A dan B dipertukarkan. Namun, hubungan ini tidak dipertimbangkan di sini, karena memiliki koefisien −2√3 yang tidak rasional.)

Pertimbangkan polinomial

${\displaystyle x^{4}-10x^{2}+1,}$

yang juga bisa ditulis sebagai

${\displaystyle \left(x^{2}-5\right)^{2}-24.}$

Kami ingin mendeskripsikan kelompok Galois dari polinomial ini, sekali lagi dalam bidang bilangan rasional. Polinomial memiliki empat akar:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\B&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\\C&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\D&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$

Ada 24 kemungkinan cara untuk mengubah keempat akar ini, tetapi tidak semua permutasi ini adalah anggota grup Galois. Anggota kelompok Galois harus mempertahankan persamaan aljabar apa pun yang melibatkan koefisien rasional A, B, C dan D.

Di antara persamaan ini, kami memiliki:

${\displaystyle {\begin{aligned}AB&=-1\\AC&=1\\A+D&=0\end{aligned}}}$

Oleh karena itu, jika φ adalah permutasi yang termasuk dalam grup Galois, kita harus memiliki:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (B)&={\frac {-1}{\varphi (A)}},\\\varphi (C)&={\frac {1}{\varphi (A)}},\\\varphi (D)&=-\varphi (A).\end{aligned}}}$

Ini menyiratkan bahwa permutasi ditentukan dengan baik oleh gambar A , dan bahwa grup Galois memiliki 4 elemen, yaitu:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A)

Ini menyiratkan bahwa golongan Galois isomorfik dari grup empat Klein.

• Grup Galois untuk lebih banyak contoh
• Teorema dasar teori Galois
• Teori Galois Diferensial untuk teori persamaan diferensial Galois
• Teori Galois Grothendieck untuk generalisasi yang luas dari teori Galois

• Artin, Emil (1998) [1944]. Galois Theory. Dover. ISBN 0-486-62342-4. 
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois Theory for Beginners: A Historical Perspective. American Mathematical Society. doi:10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. 
• Cardano, Gerolamo (1545). Artis Magnæ (PDF) (dalam bahasa Latin). Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2008-06-26. Diakses tanggal 2020-10-19. 
• Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X.  (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations". American Mathematical Monthly. 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JSTOR 2299273. 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Galois theory", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (edisi ke-2nd). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1480-9.  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois Theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0.  (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4. 
• Postnikov, M. M. (2004). Foundations of Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. 
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory (edisi ke-2nd). Springer. ISBN 0-387-98541-7. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (dalam bahasa German). Berlin: Springer. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link) . English translation (of 2nd revised edition): Modern Algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)

Beberapa tutorial online tentang teori Galois muncul di:

• http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html Diarsipkan 2007-07-11 di Wayback Machine.
• http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
• http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Buku teks online dalam bahasa Prancis, Jerman, Italia, dan Inggris dapat ditemukan di:

• http://www.galois-group.net/