Ukuran pencacahan

Dalam matematika, lebih tepatnya teori ukur, ukuran pencacahan adalah cara yang intuitif untuk memberikan ukuran pada sembarang himpunan – "ukuran" dari suatu himpunan bagian ialah banyaknya elemen pada himpunan bagian tersebut, jika himpunan bagiannya merupakan himpunan berhingga, dan takhingga ${\displaystyle \infty }$ jika himpunan bagiannya merupakan himpunan takhingga.^[1]

ukuran pencacahan dapat didefinisikan pada sembarang ruang terukur (yaitu, sembarang himpunan ${\displaystyle X}$ beserta suatu aljabar sigma) namun seringkali digunakan untuk himpunan terhitung.^[1]

Dengan notasi formal, setiap himpunan ${\displaystyle X}$ dapat diubah menjadi suatu ruang terukur dengan mengambil himpunan kuasa dari ${\displaystyle X}$ sebagai aljabar sigma ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$; dengan kata lain, seluruh himpunan bagian dari ${\displaystyle X}$ merupakan himpunan terukur. Ukuran pencacahan ${\displaystyle \mu }$ pada ruang terukur ${\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}}\right)}$ ini ialah suatu fungsi ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {F}}\to \left[0,\,\infty \right]}$ dengan definisi $${\displaystyle \mu \!\left(A\right)={\begin{cases}\left|A\right|&{\text{jika }}A{\text{ himpunan berhingga}}\\\infty &{\text{jika }}A{\text{ himpunan takhingga}}\end{cases}}}$$ untuk setiap ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, dengan ${\displaystyle \left|A\right|}$ menyatakan kardinalitas dari himpunan ${\displaystyle A}$.^[2]

Ukuran pencacahan pada ${\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}}\right)}$ bersifat berhingga sigma jika dan hanya jika ruang ${\displaystyle X}$ merupakan himpunan terhitung.^[3]

Diberikan suatu ruang ukuran ${\displaystyle \left(\mathbb {N} ,\,{\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right),\,\mu \right)}$, dengan ${\displaystyle {\mathcal {P}}\!\left(\mathbb {N} \right)}$ menyatakan himpunan seluruh himpunan bagian dari ${\displaystyle \mathbb {N} }$ dan ${\displaystyle \mu }$ adalah ukuran pencacahan. Ambil sembarang fungsi terukur ${\displaystyle f\,\colon \,\mathbb {N} \to \left[0,\,\infty \right]}$. Oleh karena fungsi ${\displaystyle f}$ terdefinisi pada ${\displaystyle \mathbb {N} }$, maka dengan menggunakan fungsi indikator, fungsi ${\displaystyle f}$ dapat dinyatakan titik-demi-titik sebagai $${\displaystyle {\begin{aligned}f\!\left(x\right)&=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\\&=\lim _{k\,\to \,\infty }\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\\&=\lim _{k\,\to \,\infty }F_{k}\!\left(x\right)\end{aligned}}}$$ dengan ${\displaystyle F_{k}\!\left(x\right):=\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)}$. Perhatikan bahwa setiap fungsi ${\displaystyle F_{k}}$ merupakan fungsi terukur, dan berlaku pertidaksamaan $${\displaystyle {\begin{aligned}f\!\left(k+1\right)\cdot 1_{\left\{k+1\right\}}\!\left(x\right)&\geq 0\\\left(\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\right)+f\!\left(k+1\right)\cdot 1_{\left\{k+1\right\}}\!\left(x\right)&\geq \sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\\F_{k+1}\!\left(x\right)&\geq F_{k}\!\left(x\right)\end{aligned}}}$$ Oleh karena setiap fungsi ${\displaystyle F_{k}}$ merupakan fungsi sederhana $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {N} }F_{k}\!\left(x\right)\,{\text{d}}\mu &=\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1_{\left\{n\right\}}\!\left(x\right)\right)\,{\text{d}}\mu \\&=\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\,\mu \!\left(\left\{n\right\}\right)\\&=\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\cdot 1\\&=\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\end{aligned}}}$$ maka menurut teorema kekonvergenan monoton, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {N} }f\,{\text{d}}\mu &=\lim _{k\,\to \,\infty }\int _{\mathbb {N} }F_{k}\,{\text{d}}\mu \\&=\lim _{k\,\to \,\infty }\sum _{n\,=\,1}^{k}f\!\left(n\right)\\&=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }f\!\left(n\right)\end{aligned}}}$$

Ukuran pencacahan merupakan kasus khusus dari suatu konstruksi umum. Dengan menggunakan notasi di atas, setiap fungsi ${\displaystyle f\,\colon \,X\to \left[0,\,\infty \right)}$ dapat digunakan untuk mendefinisikan ukuran ${\displaystyle \mu }$ pada ruang terukur ${\displaystyle \left(X,\,{\mathcal {F}}\right)}$ melalui $${\displaystyle \mu \!\left(A\right)=\sum _{a\,\in \,A}f\!\left(a\right)\qquad {\text{ untuk setiap }}A\subseteq X}$$ Jika ${\displaystyle A}$ merupakan himpunan takterhitung, maka jumlahan takterhitung dari bilangan-bilangan riil didefinisikan sebagai supremum dari semua himpunan bagian berhingga, yaitu $${\displaystyle \sum _{c\,\in \,I\,\subseteq \,\mathbb {R} }c:=\sup _{H\subseteq I,\,|H|<\infty }\left(\sum _{c\,\in \,H}c\right)}$$ Jika ${\displaystyle f(x)=1}$ untuk setiap ${\displaystyle x\in X}$, maka ${\displaystyle \mu }$ merupakan ukuran pencacahan.

• Ukuran pencacahan acak
• Fungsi himpunan