Дыферэнцыял функцыі

Дыферэнцыя́л^[1][2][3] (лац.: Differentia — рознасць, адрозненне) — галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння функцыі.

Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам. Першапачаткова ${\displaystyle dx}$ ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» — велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

Звычайна дыферэнцыял функцыі ${\displaystyle f}$ пазначаецца ${\displaystyle df}$. Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з’яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы ${\displaystyle x_{0}}$ пазначаецца ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$, а часам ${\displaystyle df[x_{0}]}$, а таксама ${\displaystyle df}$, калі значэнне ${\displaystyle x_{0}}$ ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы ${\displaystyle x_{0}}$ ад ${\displaystyle h}$ можа пазначацца як ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$, а часам ${\displaystyle df[x_{0}](h)}$, а таксама ${\displaystyle df(h)}$, калі значэнне ${\displaystyle x_{0}}$ ясна з кантэксту.

• Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял ${\displaystyle dx}$ уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
• Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})}$. Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі ${\displaystyle f}$ і аналагічнай функцыі ${\displaystyle x}$ верныя суадносіны
• :${\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.}$

Дыферэнцыял функцыі ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ у кропцы ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ можа быць вызначаны як лінейная функцыя

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f'(x_{0})h,}$

дзе ${\displaystyle f'(x_{0})}$ абазначае вытворную ${\displaystyle f}$ у кропцы ${\displaystyle x_{0}}$.

Такім чынам ${\displaystyle df}$ ёсць функцыя двух аргументаў ${\displaystyle df\colon (x_{0},h)\mapsto d_{x_{0}}f(h)}$.

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$, якая лінейна залежыць ад ${\displaystyle h}$, і для якой верныя наступныя суадносіны

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(|h|).}$

Дыферэнцыялам адлюстравання ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ у кропцы ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ называюць лінейны аператар ${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ такі, што выконваецца ўмова

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=f(x_{0}+h)-f(x_{0})+o(|h|).}$

• Адлюстраванне ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ называецца дыферэнцуемым у кропцы ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ калі вызначаны дыферэнцыял${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$.

• Матрыца лінейнага аператара ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з’яўляюцца частковыя вытворныя.

*Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.

• Дыферэнцыял функцыі ${\displaystyle f}$ звязаны з яе градыентам ${\displaystyle \nabla f}$ наступнымі вызначальнымі суадносінамі

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle }$

• Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з’яўляюцца узаемазваротнымі.

• Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
• Знешні дыферэнцыял
• Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
• Вытворная Пеано
• Вытворная Фрэшэ

• Гусак А. А. Дыферэнцыя́л у матэматыцы // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 6: Дадаізм — Застава / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1998. — Т. 6. — С. 299—300. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0106-0 (т. 6).
• Дыферэнцыя́л // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 119—120. — 496 с. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
• Руска-беларускі матэматычны слоўнік: [больш за 630 слоў і словазлучэнняў] / Лабачэня, Г. Я., Шчыракоў, А. М.; Мінскі дзяржаўны педагагічны інстытут імя А. М. Горкага. — Мн.: МДПІ, 1993. — С. 6. — 21 с. — 100 экз.
• Колмогоров А. Н. Дифференциа́л // Математический энциклопедический словарь (руск.) / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 188—189. — 847 с. — 150 000 экз.
• Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006. — 991, [1] с: ил. — ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»), ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»). (руск.)
• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»