Закон Гука

Закон Гука
Названа ад	Роберт Гук
Асноўная тэма твора	спружына
Формула, якая апісвае закон або тэарэму	${\displaystyle F=k\Delta l}$
Пазначэнне ў формуле	${\displaystyle F}$, ${\displaystyle k}$ і ${\displaystyle \Delta l}$
Медыяфайлы на Вікісховішчы

Механіка суцэльных асяроддзяў

Суцэльнае асяроддзе Класічная механіка Закон захавання масы · Закон захавання імпульсу Тэорыя пругкасці Напружанне · Тэнзар · Цвёрдыя целы · Пругкасць · Пластычнасць · Закон Гука · Рэалогія · Вязкапругкасць Гідрадынаміка Вадкасць · Гідрастатыка · Гідрадынаміка · Вязкасць · Ньютанаўская вадкасць · Неньютанаўская вадкасць · Паверхневае нацяжэнне Асноўныя ўраўненні Ураўненне неразрыўнасці · Ураўненне Эйлера · Ураўненні Наўе — Стокса · Ураўненне дыфузіі · Закон Гука Вядомыя вучоныя Ньютан · Гук Бернулі · Эйлер · Кашы · Стокс · Наўе

глядзець размовы правіць

Зако́н Гу́ка — ураўненне тэорыі пругкасці, якое злучае напружанне і дэфармацыю пругкага асяроддзя. Адкрыты ў 1660 годзе англійскім вучоным Робертам Гукам (Хукам) (англ.: Robert Hooke)^[1]. Паколькі закон Гука запісваецца для малых напружанняў і дэфармацый, ён мае выгляд простай прапарцыйнасці.

У славеснай форме закон гучыць наступным чынам:

Сіла пругкасці, якая ўзнікае ў целе пры яго дэфармацыі, прама прапарцыйна велічыні гэтай дэфармацыі.

Для тонкага расцяжнага стрыжня закон Гука мае выгляд:

${\displaystyle \!F=k\Delta l.}$

Тут ${\displaystyle F}$ — сіла, якой расцягваюць (сціскаюць) стрыжань, ${\displaystyle \Delta l}$ — абсалютнае падаўжэнне (сціск) стрыжня, а ${\displaystyle k}$ — каэфіцыент пругкасці (ці цвёрдасці).

Каэфіцыент пругкасці залежыць як ад уласцівасцей матэрыялу, так і ад памераў стрыжня. Можна вылучыць залежнасць ад памераў стрыжня (плошчы папярочнага сячэння ${\displaystyle S}$ і даўжыні ${\displaystyle L}$) яўна, запісаўшы каэфіцыент пругкасці як

${\displaystyle k={\frac {ES}{L}}.}$

Велічыня ${\displaystyle E}$ завецца модулем пругкасці першага роду ці модулем Юнга і з'яўляецца механічнай характарыстыкай матэрыялу.

Калі ўвесці адноснае падаўжэнне

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{L}}}$

і звычайнае напружанне ў папярочным сячэнні

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}},}$

то закон Гука ў адносных адзінках запішацца як

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon \ .}$

У такой форме ён справядлівы для любых малых аб'ёмаў матэрыялу.

Таксама пры разліку прамых стрыжняў ужываюць запіс закона Гука ў адноснай форме

${\displaystyle \Delta l={\frac {FL}{ES}}.}$

Варта мець на ўвазе, што закон Гука выконваецца толькі пры малых дэфармацыях. Пры перавышэнні мяжы прапарцыйнасці сувязь паміж напружаннямі і дэфармацыямі становіцца нелінейнай. Для шматлікіх асяроддзяў закон Гука непрыдатны нават пры малых дэфармацыях.

У агульным выпадку напружання і дэфармацыі апісваюцца тэнзарамі другога рангу ў трохмернай прасторы (маюць па 9 кампанент). Тэнзар пругкіх пастаянных, які злучае іх, з'яўляецца тэнзарам чацвёртага рангу ${\displaystyle C_{ijkl}}$ і ўтрымлівае 81 каэфіцыент. З прычыны сіметрыі тэнзара ${\displaystyle C_{ijkl}}$, а таксама тэнзараў напружанняў і дэфармацый, незалежнымі з'яўляюцца толькі 21 пастаянная. Закон Гука выглядае наступным чынам:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl},}$

дзе ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ — тэнзар напружанняў, ${\displaystyle \varepsilon _{kl},}$ — тэнзар дэфармацый. Для ізатропнага матэрыялу тэнзар ${\displaystyle C_{ijkl}}$ утрымлівае толькі два незалежныя каэфіцыенты.

Дзякуючы сіметрыі тэнзараў напружання і дэфармацыі, закон Гука можа быць прадстаўлены ў матрычнай форме.

• Каэфіцыент Пуасона
• Тэнзар напружанняў
• Тэнзар дэфармацыі
• Тэорыя пругкасці

• Закон Гука на досведзе (відэа)