P-norma

Norme na ${\displaystyle R^{2}}$ su realne funkcije na ${\displaystyle R^{2}}$ koje imaju određene osobine. Važnu klasu takvih funkcija čine p-norme.

p-norme možemo definisati za svaki realan broj ${\displaystyle p\geqslant 1,}$ te za ${\displaystyle p=\infty }$.

2-norma standardna euklidska norma

1-norma je poznata pod nazivom taxicab- norma a ${\displaystyle \infty }$-normu obično nazivamo max-norma. Svaka norma definiše udaljenost (metriku). Uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

Realna funkcija ${\displaystyle \rVert \ast \lVert }$ : ${\displaystyle R^{2}\rightarrow R}$ naziva se norma na R² ako ima sljedeće osobine:

${\displaystyle \rVert (x,y)\lVert \geqslant 0}$

${\displaystyle \rVert (x,y)\lVert =0<=>(x,y)=0}$

${\displaystyle \rVert (x,y)+(u,v)\lVert \leq 0<=>\rVert (x,y)\lVert +\rVert +(u,v)\lVert }$

${\displaystyle \rVert c(x,y)\lVert =|c|\rVert (x,y)\lVert }$

Za sve ${\displaystyle (x,y),(u,v)\in R^{2}}$ i sve ${\displaystyle c\in R}$ Zadajući neku normu na ${\displaystyle R^{2}}$, ${\displaystyle R^{2}}$ postaje normirani prostor.

Primjer norme na ${\displaystyle R^{2}}$ je Euklidska norma koja predstavlja dužinu dužine čije su krajnje tačke (${\displaystyle 0,0)}$ i ${\displaystyle (x,y)}$, tj.

${\displaystyle \rVert (x,y)\lVert _{p}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

koja predstavlja poseban slučaj p-normi ${\displaystyle \rVert (x,y)\lVert _{p}}$

Za svaki realni broj p, ${\displaystyle p\geqslant 1}$ definišimo

${\displaystyle (\rVert (x,y)\lVert _{p}=|x|^{p}+|y|^{p})^{\frac {1}{p}}}$

Funkcija ${\displaystyle \rVert (x,y)\lVert _{p}}$ je p- norma na ${\displaystyle R^{2}}$ Da bi bili li sigurni da je ovo norma moramo provjeriti da li funkcija zadovoljava uslove iz definicije 1. Osobine (1), (2) i (4) se lako provjere, dok je provjera (3) poznata kao nejednakost trougla, za ovaj dokaz koristi se Youngova nejednakost.

Za sve ${\displaystyle a,b\geqslant 0ip,q>1}$ takve da je ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ vrijedi

${\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$

Za svaki ${\displaystyle p\geqslant 1}$ formulom

${\displaystyle \rVert (x,y)+(u+v)\lVert _{p}\leq {\sqrt[{p}]{\rVert (x,y)\lVert _{p}+\rVert (u,v)\lVert _{p}}}}$

Dokaz

Treba dokazati da za svaki ${\displaystyle p\geqslant 1}$ vrijedi

${\displaystyle \rVert (x,y)+(u+v)\lVert _{p}\leq \rVert (x,y)\lVert _{p}+\rVert (u,v)\lVert _{p}}$

tj.

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{|x+u|^{p}+|y+v|^{p}}}\leq {\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|u|^{p}}}+{\sqrt[{p}]{|y|^{p}+|uv|^{p}}}}$

za sve ${\displaystyle (x,y),(u,v)\in R^{2}}$

Za ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle [|x+u|\leq |x|+|u|\land [|y+v|\leq |y|+|v|]=>|x+u|+|y+v|\leq |x|+|u|+|y|+|v|}$

Za ${\displaystyle p>1}$

U nejednakosti

${\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$

uvrstit ćemo izraze za ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a={\frac {|x|}{\rVert (x,y)\lVert _{p}}}}$ i ${\displaystyle b={\frac {|u|}{\rVert (u,v)\lVert _{q}}}}$ a zatim

${\displaystyle a={\frac {|y|}{\rVert (x,y)\lVert _{p}}}}$ i ${\displaystyle b={\frac {|v|}{\rVert (u,v)\lVert _{q}}}}$

dobijamo nejednakosti

${\displaystyle {\frac {|x|}{\rVert (x,y)\lVert _{p}}}*{\frac {|u|}{\rVert (u,v)\lVert _{q}}}\leqslant {\frac {|x|^{p}}{p\rVert (x,y)\lVert _{p}}}*{\frac {|u|^{q}}{q\rVert (u,v)\lVert _{q}}}}$

${\displaystyle {\frac {|y|}{\rVert (x,y)\lVert _{p}}}*{\frac {|v|}{\rVert (u,v)\lVert _{q}}}\leqslant {\frac {|y|^{p}}{p\rVert (x,y)\lVert _{p}}}*{\frac {|v|^{q}}{q\rVert (u,v)\lVert _{q}}}}$

saberemo li ih dobijamo nejednakosti

${\displaystyle {\frac {|x||u|+|y||v|}{\rVert (x,y)\lVert _{p}\rVert (u,v)\lVert _{q}}}\leqslant {\frac {|x|^{p}+|y|^{p}}{p\rVert (x,y)\lVert _{p}}}+{\frac {|u|^{q}+|v|^{q}}{q\rVert (u,v)\lVert _{q}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

tj

${\displaystyle |x||u|+|y||v|\leqslant {\sqrt[{q}]{x^{p}+y^{p}}}+{\sqrt[{p}]{u^{q}+v^{q}}}}$ za svako ${\displaystyle x,y,u,v\in R}$

Ako uzmemo ${\displaystyle (x+u)^{p-1}}$ za ${\displaystyle u}$ i (${\displaystyle y+v)^{q-1}}$ za ${\displaystyle v}$ i smatrajući ${\displaystyle (p-1)_{q}=p}$

${\displaystyle |x||x+u|^{p-1}+|y||y+v|^{p-1}\leqslant {\sqrt[{p}]{x^{p}+y^{p}}}+{\sqrt[{q}]{u^{q}+v^{q}}}}$

Zamjenom uloga x i u , y i v imamo

${\displaystyle |u||x+u|^{p-1}+|v||y+v|^{p-1}\leqslant {\sqrt[{p}]{u^{p}+v^{p}}}+{\sqrt[{q}]{|x+u|^{p}+|y+p|^{p}}}}$

${\displaystyle |x+u|^{p}+|y+v|^{p}=|x+u||x+u|^{p-1}+|y+v||y+v|^{p-1}}$

${\displaystyle \leqslant (|x|+|u||x+u|^{p-1}+(|y|+|v|)|y+v|^{p-1}=}$

${\displaystyle |x||x+u|^{p-1}+|u||x+u|^{p-1}+|y||y+v|^{p-1}+|v||y+v|^{p-1}=}$

na osnovu ranijih nejednakosti imamo

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}{\sqrt[{q}]{|x+u|^{p}+|y+v|^{p}}}+{\sqrt[{p}]{|u|^{p}+|v|^{p}}}{\sqrt[{q}]{|x+u|^{p}+|y+v|^{p}}}}$

odnosno

${\displaystyle |x+u|^{p}+|y+v|^{p}\leqslant ({\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}+{\sqrt[{p}]{|u|^{p}+|v|^{p}}})(|x+u|^{p}+|y+v|^{p}))}$

Dijeljenjem s drugim faktorom s desne strane slijedi

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|x+u|^{p}+|y+v|^{p}}}\leqslant ({\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}+{\sqrt[{p}]{|u|^{p}+|v|^{p}}})}$

p-norme na ${\displaystyle R^{2}}$ , kružnice ${\displaystyle S_{p}}$ i brojevi ${\displaystyle \pi _{p}}$ // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)