Rotacijski broj

U matematici, rotacijski broj je invarijanta homeomorfizama krugova.

Prvi put ga je definirao Henri Poincaré 1885. godine, u odnosu na precesiju perihela planetarne orbite. Poincaré je kasnije dokazao teorem koji karakterizira postojanje periodičnih orbita u smislu racionalnosti rotacijskog broja.

Pretpostavimo da ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$ je homeomorfizam grupe krugova koji čuva orijentaciju${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} .}$ Tada f se može podići na homeomorfizam ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ realne linije, zadovoljavajuće

${\displaystyle F(x+m)=F(x)+m}$

Za svaki realni broj x i svaki integer m.

Rotacijski broj od f je definisan u terminima iteracija od F:

${\displaystyle \omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}.}$

Henri Poincaré je dokazao da limit postoji i da je nezavisan od izbora početne tačke x. Uzgon F je jedinstven po modulu cijelih brojeva, stoga je broj rotacije dobro definisan element od Šablon:Tmath Intuitivno, on mjeri prosječni ugao rotacije duž orbita od f.

Ako je ${\displaystyle f}$ rotatacija prema ${\displaystyle 2\pi N}$ (where ${\displaystyle 0<N<1}$), tada

${\displaystyle F(x)=x+N,}$

a njegov rotacijski broj je ${\displaystyle N}$ (usp. iracionalna rotacija).

Rotacijski broj je invarijantan u odnosu na topološku konjugaciju, pa čak i monotonu topološku polukonjugaciju: ako su f i g dva homeomorfizma kruga i: ${\displaystyle h\circ f=g\circ h}$

Za monotono neprekidno preslikavanje h kruga u sebe (ne nužno homeomorfno), tada f i g imaju iste brojeve rotacije. Poincaré i Arnaud Denjoy su ga koristili za topološko klasifikaciju homeomorfizama kruga. Postoje dvije različite mogućnosti.

• Rotacijski broj od f je racionalni broj p/q (u najnižim terminima). Tada f ima periodičnu orbitu, svaka periodična orbita ima period q, a redoslijed tačaka na svakoj takvoj orbiti podudara se s redoslijedom tačaka za rotaciju za p/q. Štaviše, svaka direktna orbita od f konvergira u periodičnu orbitu. Isto važi i za nazadne orbite, koje odgovaraju iteracijama od f ^–1, ali granične periodične orbite u smjeru naprijed i nazad mogu biti različite.
• Rotacijski broj od f je iracionalni broj θ. Tada f nema periodične orbite (ovo odmah slijedi razmatranjem periodične tačke x od f). Postoje dva podslučaja.

1. Postoji gusta orbita. U ovom slučaju f je topološki konjugovan sa iracionalnom rotacijom za ugao θ i sve orbite su guste. Denjoy je dokazao da se ova mogućnost uvijek ostvaruje kada je f dva puta kontinuirano diferencijabilan.
2. Postoji Cantorov set C invarijantan pod f. Tada je C jedinstveni minimalni skup i orbite svih tačaka, i u smjeru naprijed i u smjeru nazad, konvergiraju ka C. U ovom slučaju, f je polukonjugiran sa iracionalnom rotacijom pomoću θ, a polukonjugirajuće preslikavanje h stepena 1 je konstantno na komponentama komplementa od C.

Broj rotacije je kontinuiran kada se posmatra kao preslikavanje iz grupe homeomorfizama (sa topologijom C⁰) kruga u krug.

• Kružna mapa
• Denjoyev difeomorfizam
• Poincaréov presjek
• Poincaréova rekurzivnost
• Poincaré-Bendixsonova teorema

• Herman, Michael Robert (decembar 1979). "Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations" [On the Differentiable Conjugation of Diffeomorphisms from the Circle to Rotations]. Publications Mathématiques de l'IHÉS (jezik: francuski). 49: 5–233. doi:10.1007/BF02684798. S2CID 118356096., also SciSpace for smaller file size in pdf ver 1.3 Arhivirano 13. 11. 2022. na Wayback Machine
• Poincaré, Henri (1885). "Sur les courbes définies par les équations différentielles (III)". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (jezik: francuski). 1: 167–244.

• Šablon:Scholarpedia
• Weisstein, Eric W. "Map Winding Number". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.