Ugao

Ugao je dio ravni ograničen sa dvije poluprave koje imaju zajednički početak.

Ugao zatvaraju dvije poluprave a i b (zrake) koje ishode iz jedne tačke T. Poluprave koje zatvaraju ugao nazivaju se kracima ugla, a tačka iz koje ishode je njegovo tjeme. Kada kraci ugla čine jednu pravu ugao se naziva ispruženim ili ravnim.^[1]

• Ispružen ugao ima 180° (stepeni), tj. ${\displaystyle \pi \,}$ (radijana).
• Prav ugao je jednak (kongruentan) svom suplementnom (susjednom). Prav ugao iznosi 90° (stepeni), tj. ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ (radijana).
• Komplementni uglovi su oni koji se dopunjavaju do pravog ugla.
• Suplementna su dva susjedna ugla koja se dopunjavaju do ispruženog. U Euklidskoj geometriji, komplementni su oštri uglovi pravouglog trougla.

Uglovi koji nastaju presjekom dvije prave u istoj ravni trećom nazivaju se:

• Saglasni: a i e, d i h, c i g, b i f;
• Suprotni: a i f, d i g, c i h, b i e;
• Unakrsni: a i g, d i f, c i e, b i h.
• Susjedni: a i d, d i c, c i b, b i a.

Uglovi sa paralelnim kracima jednaki su ili su suplementni, α + β = 180o.

Posljedica 1: zbir uglova u trouglu je 180°.^[2]

Mjera ugla je veličina razmaka između krakova ugla. Radi mjerenja ugla se koristi krug čiji je centar u tjemenu ugla. Obzirom da je obim kruga srazmjeran poluprečniku to je i mjera ugla nezavisna od veličine poluprečnika. Posljedica činjenice da je veličina ugla odnos dvije dužine je da je jedinica veličine ugla bezdimenzionalna.

• Broj koji se dobije kao količnik dužine luka kružnice i poluprečnika se naziva radijan. U međunarodnom sistemu mjera radijan je izvedena jedinica. Iako je bezdimenzionalna, oznaka postoji i piše se rad.
• Stepen je mjera ugla kod koga je pun krug 360 stepeni, a sljedstveno tome opruženi ugao je 180 stepeni, a prav ugao je 90 stepeni. Oznaka za stepen je mali kružić napisan kod veličine, recimo za pun krug 360°. Za preciznija mjerenja se koristi dio stepena, naziva se minuta i iznosi 1/60 od stepena. Oznaka za minutu je apostrof znak, recimo za 1 stepen je 60'. Postoji još manja mjera, sekunda. Sekunda je 1/60 od minute, odnosno 1/3600 od stepena. Oznaka za sekundu je dvostruki apostrof, odnosno 1 minuta je 60".

Neka je dat ugao u kompleksnoj ravni.

Mjera pozitivno orijentisanog ugla ${\displaystyle {\widehat {M_{1}OM_{2}}}}$ jednaka je ${\displaystyle arg{\frac {z_{2}}{z_{1}}}}$.

Ako su ${\displaystyle M_{1}(z_{1})}$, ${\displaystyle M_{2}(z_{2})}$ i ${\displaystyle M_{3}(z3_{)}}$ tri različite tačke, onda je mjera pozitivno orijentisanog ugla ${\displaystyle {\widehat {M_{2}M_{1}M_{3}}}}$ jednaka ${\displaystyle arg{\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}}$.^[3]

${\displaystyle 2\pi \,{\mbox{rad}}=360^{o}}$, pun krug je dva pi radijana ili 360 stepeni

${\displaystyle \pi \,{\mbox{rad}}=180^{o}}$, pi radijana je 180 stepeni (često se rad izostavlja kada je pi u izrazu)

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\mbox{rad}}=90^{o}}$, pi pola radijana je 90 stepeni

${\displaystyle 1\,{\mbox{rad}}={\frac {180^{o}}{\pi }}\approx 57^{o}17'45''\,}$, jedan radijan je 180 kroz pi stepeni, ili približno 57 stepeni, 17 minuta i 45 sekundi

U trigonometriji uglovi imaju poseban značaj. Tako se pomoću trigonometrijskih funkcija nekog ugla, mogu dobiti odnosi stranica trougla.

Ako se naspramna kateta označi kao ${\displaystyle a}$, kao nalegla ${\displaystyle b}$, a kao hipotenuza ${\displaystyle c}$, onda se može dobiti primjer dobijanja odnosa stranica u trouglu na osnovu trigonometrijske funkcije datog ugla.

Sinus ugla:

${\displaystyle sin\alpha ={\frac {a}{c}}}$

Kosinus ugla:

${\displaystyle cos\alpha ={\frac {b}{c}}}$

Tangens ugla (nekad se obilježava i sa ${\displaystyle tg}$):

${\displaystyle tan\alpha ={\frac {a}{b}}}$

Kotangens ugla (nekad se obilježava i sa ${\displaystyle ctg}$):

${\displaystyle cot\alpha ={\frac {b}{a}}}$

Sekans ugla:

${\displaystyle sec\alpha ={\frac {c}{a}}}$

Kosekans ugla:

${\displaystyle csc\alpha ={\frac {c}{b}}}$

Kao što se vidi uglovi su jedna od osnovnih tema proučavanja u trigonometriji i kao takvi imaju veliki značaj u toj oblasti.

U Euklidovim Elementima knjiga I je dato nekoliko definicija:

Definicija 8

Ugao u ravni je otklon jedne linije ka drugoj u ravni koje se sijeku i ne leže u liniji.

Definicija 9

Kada su linije koje čine ugao prave i ugao je pravolinijski.

Definicija 10

Kada prava linija siječe pravu liniju čineći jednake susjedne uglove, svaki od uglova je prav ugao, a linija koja siječe drugu se zove normalna na onu koju siječe.

Definicija 11

Tupi ugao je ugao veći od pravog ugla.

Definicija 12

Oštar ugao je ugao manji od pravog ugla.

• Osnovne trigonometrijske formule

Commons ima datoteke na temu: Ugao

1. ^ "Geometry". Open Learning (jezik: engleski). Pristupljeno 14. 7. 2025.
2. ^ "Angles - Meaning | Definition | Examples | What are Angles?". Cuemath (jezik: engleski). Pristupljeno 14. 7. 2025.
3. ^ Primene kompleksnih brojeva u geometriji /Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.