Dodecàedre truncat

Dodecàedre truncat

Model 3D
Tipus	Políedre arquimedià
Forma de les cares	Triangles i decàgons
Símbol de Schläfli	t{5,3}
Cares per vèrtex	3
Vèrtexs per cara	3 i 10
Simetria	Ih
Dual	Icosàedre triakis
Propietats	Semi-regular i convex
Elements
Cares	32 (20 triangles i 12 decàgons)
Arestes	90
Vèrtexs	60
Característica	2
Més informació
MathWorld	TruncatedDodecahedron

En geometria, el dodecàedre truncat és un dels tretze políedres arquimedians, s'obté truncant els vint vèrtex de l'dodecàedre.

Té 32 cares, 12 de les quals són decagonals i 20 triangulars, 90 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren dues cares decagonals i una triangular.

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre truncat tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

${\displaystyle A=(5{\sqrt {3}}+30{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})a^{2}}$

${\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(99+47{\sqrt {5}})a^{3}}$

Els radis R, r i ${\displaystyle \rho }$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

${\displaystyle {\begin{aligned}&R={\frac {a{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}}{4}}\\&r={\frac {5a\left(17{\sqrt {2}}+3{\sqrt {10}}\right){\sqrt {37+15{\sqrt {5}}}}}{488}}\\&\rho ={\frac {a\left(5+3{\sqrt {5}}\right)}{4}}\\\end{aligned}}}$

On a és la longitud de les arestes.

El políedre dual del dodecàedre truncat és l'icosàedre triakis.

El grup de simetria del dodecàedre truncat té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric ${\displaystyle I\cong A_{5}}$. Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

La següent successió de políedres il·lustra una transició des del dodecàedre a l'icosàedre passant pel dodecàedre truncat:

dodecàedre

dodecàedre truncat

icosidodecàedre

icosàedre truncat

icosàedre

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic
• Sòlid de Johnson

• H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
• Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Dodecàedre truncat

• Paper models of Archimedean solids