Funció gamma inversa

En matemàtiques, la funció gamma inversa és la funció:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}$

on ${\displaystyle \Gamma (z)}$ denota la funció gamma. Atès que la funció gamma és meromorfa i no és zero a tot el pla complex, la seva inversa és una funció entera. Com a funció entera, és de l'ordre 1 (és a dir, que el ${\displaystyle loglog\left\vert {\frac {1}{\Gamma (z)}}\right\vert }$ no creix més ràpid que el ${\displaystyle log\left\vert \Gamma (z)\right\vert }$), però de tipus infinit (el que significa que ${\displaystyle log\left\vert {\frac {1}{\Gamma (z)}}\right\vert }$ creix més ràpid que qualsevol múltiple de ${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$, ja que el seu creixement és aproximadament proporcional a ${\displaystyle \left\vert z\right\vert log\left\vert z\right\vert }$ al pla esquerre).

Aquesta funció inversa s'utilitza de vegades com a punt de partida per a la computació numèrica de la funció gamma, i algunes biblioteques de programari la proporcionen per separat de la funció gamma regular.

Karl Weierstrass va anomenar la funció gamma inversa «factorial» i la va utilitzar en el seu desenvolupament del teorema de factorització de Weierstrass.

Seguint les definicions de producte infinit per a la funció gamma, segons Euler i Weierstrass, respectivament, obtenim el següent desenvolupament en producte infinit per a la funció gamma inversa:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$

on ${\displaystyle \gamma \approx 0,577216...}$ és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquests desenvolupaments són vàlids per a tots els nombres complexos z.

Es produeix un desenvolupament de la sèrie de Taylor al voltant de ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots }$

on ${\displaystyle \gamma }$ és la constant d'Euler-Mascheroni. Per a ${\displaystyle k>2}$, el coeficient ${\displaystyle a_{k}}$ per al terme ${\displaystyle z^{k}}$ es pot calcular recursivament com^[1]

${\displaystyle a_{k}={\frac {a_{2}a_{k-1}-\sum _{j=2}^{k-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{k-j}}{k-1}}}$

on ${\displaystyle \zeta (s)}$ és la funció zeta de Riemann. Fekih-Ahmed va trobar recentment una representació integral per a aquests coeficients:^[2]

${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.}$

Per a valors petits, aquesta dona els següents valors:

Una aproximació per a ${\displaystyle a_{k}}$ es pot trobar a l'obra abans esmentada de Fekih-Ahmed:

${\displaystyle a_{k}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz_{0}}{\frac {z_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z_{0}}}}\right),}$

on ${\displaystyle z_{0}={\frac {e^{W_{-1}(-n)}}{-n}}}$, i ${\displaystyle W_{-1}}$ és la menys la primera branca de la funció W de Lambert.

Com ${\displaystyle \left\vert z\right\vert }$ tendeix a l'infinit a una constant ${\displaystyle arg(z)}$ tenim:

${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{per a}}\quad |\arg(z)|<\pi }$

Una representació integral segons Hermann Hankel és

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$

on ${\displaystyle H}$ és el contorn d'Hankel, és a dir, el camí que envolta ${\displaystyle 0}$ en la direcció positiva, que comença i torna a infinit positiu pel que fa a la branca tallada al llarg de l'eix real positiu. Segons Schmelzer & Trefethen, l'avaluació numèrica de la integral d'Hankel és la base d'alguns dels millors mètodes per a la computació de la funció gamma.

Per a enters positius ${\displaystyle n\geq 1}$, hi ha una integral per a la funció factorial inversa donada per^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta }$.

De la mateixa manera, per a qualsevol real ${\displaystyle c>0}$ i ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ es té la següent integral per a la funció gamma inversa al llarg de l'eix real en forma de:^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,}$

on el cas particular quan ${\displaystyle z:=n+1/2}$ proporciona una relació corresponent a la funció doble factorial inversa, ${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}}$.

La integració de la funció gamma inversa al llarg de l'eix real positiu dona el valor

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$

que es coneix com la constant de Fransén-Robinson.

• Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations Arxivat 2016-03-04 a Wayback Machine.
• Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function Arxivat 2020-05-31 a Wayback Machine.
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
• Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld

• Funció de Bessel-Clifford
• Distribució gamma inversa