Moorova–Osgoodova věta je věta z oblasti matematické analýzy pojmenovaná po matematicích E. H. Moorovi a W. F. Osgoodovi, která charakterizuje postačující podmínku pro záměnu limit v násobných limitách.

Nechť ${\displaystyle (P,\rho )}$ je metrický prostor, ${\displaystyle x_{0}\in P}$ je hromadný bod ${\displaystyle P}$ a funkce ${\displaystyle f,f_{n}:P\rightarrow \mathbb {R} \forall n\in \mathbb {N} }$ splňují

1. existuje ${\displaystyle r\in \mathbb {R} :r>0}$ takové, že ${\displaystyle f_{n}}$ stejnoměrně konverguje k ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\}}$
2. pro každé ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ platí ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f_{n}(x)=a_{n}\in \mathbb {R} }$

Potom existují vlastní limity ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)}$ a ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$. Navíc, tyto limity si jsou rovny.^[1]

Nejdříve ukážeme, že existuje limita ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}}$:

Dostaneme zadané ${\displaystyle \varepsilon >0}$ a k němu volíme ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tak, aby platilo ${\displaystyle \forall x\in B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\},\forall n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{4}}}$. Takové ${\displaystyle n_{0}}$ existuje ze stejnoměrné konvergence ${\displaystyle f_{n}}$ na ${\displaystyle f}$.

Mějme dále ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,m,n>n_{0}}$. Pro ně najdeme ${\displaystyle r_{n}\in \mathbb {R} ^{+}:r_{n}<r}$ tak, aby platilo ${\displaystyle \forall x\in B(x_{0},r_{n})\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{4}}}$. Analogicky najdeme ${\displaystyle r_{m}\in \mathbb {R} ^{+}:r_{m}<r}$ tak, aby platilo ${\displaystyle \forall x\in B(x_{0},r_{m})\setminus \{x_{0}\}:|f_{m}(x)-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{4}}}$. Tato ${\displaystyle r_{m},r_{n}}$ opět existují z konvergence limity.

Nyní uvážíme ${\displaystyle x\in B(x_{0},{\text{min}}\{r_{m},r_{n}\})\setminus \{x_{0}\}}$. Pro toto ${\displaystyle x}$ platí ${\displaystyle |a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-f_{n}(x)+f_{n}(x)-f(x)+f(x)-f_{m}(x)+f_{m}(x)-a_{m}|\leq |a_{n}-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f(x)|+|f(x)-f_{m}(x)|+|f_{m}(x)-a_{m}|={\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}+{\frac {\varepsilon }{4}}=\varepsilon }$.

Tedy posloupnost ${\displaystyle (a_{n})}$ je cauchyovská , a tedy (jelikož jsou všechny hodnoty reálné) i konvergentní a má vlastní limitu: ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=a\in \mathbb {R} }$.

Tím je splněn první cíl. Dále dokážeme, že platí rovnost, tedy ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=a}$.

Opět mějme zadané ${\displaystyle \varepsilon >0}$. K němu nalezneme ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ takové, že ${\displaystyle \forall n\geq n_{0}:|a_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$. Existence takového ${\displaystyle n_{0}}$ plyne z konvergence posloupnosti ${\displaystyle (a_{n})}$. Dále najdeme ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} }$ tak, aby platilo ${\displaystyle \forall n\geq n_{1}:\forall x\in B(x_{0},r)\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$. To existuje ze stejnoměrné konvergence ${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$. Nyní uvážíme libovolné ${\displaystyle n>{\text{max}}\{n_{0},n_{1}\}}$ a toto ${\displaystyle n}$ zafixujeme. Nalezneme ${\displaystyle r_{1}\in \mathbb {R} ^{+}:\forall x\in B(x_{0},r_{1})\setminus \{x_{0}\}:|f_{n}(x)-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}}$.

Nakonec zvolíme ${\displaystyle r_{2}={\text{min}}\{r,r_{1}\}}$. Pak ${\displaystyle \forall x\in B(x_{0},r_{2})\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|=|f(x)-f_{n}(x)+f_{n}(x)-a_{n}+a_{n}-a|\leq |f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-a_{n}|+|a_{n}-a|={\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon }$, čímž jsme tvrzení dokázali.

Tato věta je významná pro svou poměrně jednoduchou charakterizaci postačující podmínky pro záměnu limit.

Zároveň lze jednoduše ukázat, že pro posloupnosti konvergující nestejnoměrně nemusí záměna limit platit: příkladem je ${\displaystyle f_{n}:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} :f_{n}(x)=x^{n}}$. Pak zjevně ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }f_{n}(1)=1}$ a zároveň ${\displaystyle f_{n}}$ konverguje (avšak ne stejnoměrně) k funkci ${\displaystyle f(x)=0\forall x\in [0,1),f(1)=1}$. Také ovšem platí ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow 1}f(x)=0}$ , a tedy si limity ze znění nejsou rovny.^[2]

Základním využitím této věty je právě teoretická aplikace možnosti záměny pořadí limit.

Jiné znění této věty také umožňuje ukázat konvergenci jednostranné limity dvou proměnných.^[3]

^{[4][5][6][7][8]}

1. Moore-Osgood theorem for fuzzy functions. ResearchGate | Share and discover research [online]. Copyright © ResearchGate 2019. All rights reserved. [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: https://www.researchgate.net/publication/266249354_Moore-Osgood_theorem_for_fuzzy_functions
2. A Boolean Derivation of the Moore-Osgood Theorem. JSTOR: Access Check. JSTOR [online]. Copyright ©2000 [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: https://www.jstor.org/stable/2266733?seq=1#metadata_info_tab_contents
3. HOFFMAN, Kenneth. Analysis in Euclidean space. Dover ed. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2007. ISBN 978-0486458045. https://epdf.tips/analysis-in-euclidean-space8d033b5dc21477810d8465ee52f782527763.html