Strøbye var søn af herreekviperingshandler Axel Ingvard Jacobsen og dennes hustru Aleksia F. Petersen. Han kom som en uventet tvilling til broderen Jørgen, og da forældrene ikke havde udvalgt mere end et drengenavn før fødslen, fik han faderens fornavn.
Efter endt uddannelse blev han i begyndelsen af 1950'erne ansat på Aalborg Teater og siden på flere forskellige københavnske teatre.
Fra 1967 – 1992 var han fast engageret ved Det Kgl. Teater. I de ca. 25 år spillede han omkring 60 roller heraf mange klassiske i skuespil af bl.a. Holberg, Shakespeare, Strindberg og Ibsen.
Han forlod teatret i vrede efter uoverensstemmelser med teatrets ledelse.
Efter bruddet spillede og instruerede han i sit og hustruen Hanne Borchsenius' turnéteater.
Axel Strøbye medvirkede desuden gennem årene i et utal af revyer og cabareter. Han prøvede også kræfter med instruktørgerningen, f.eks. ved Tivolirevyen i perioden 1975-1979.
Film
Han debuterede i filmen Nålen i 1951 og medvirkede i løbet af 1950'erne i biroller i forskellige danske film.
Axel Strøbyes første store filmrolle kom med filmen Den sidste vinter fra 1960, et drama om besættelsestiden. Filmkarrieren tog mere fart i løbet af dette årti ved hans medvirken i film som Den grønne elevator (1961), der var den egentlige begyndelse på det komiske rollefag, der efterhånden blev hans kendetegn. Andre velkendte film fulgte efter, bl.a. Han, hun, Dirch og Dario samt serien Min søsters børn. Dernæst har han også medvirket i Dyrlægens plejebørn fra 1968 hvor han spiller cirkusdirektøren Don Pedro som tilsyneladende har gjort Kirsten (Lone Hertz), som har optrådt som artist i hans enmastede cirkus, gravid. Don Pedro er et kapitel for sig selv og hver gang talen drejer sig om bryllup går han i panik.
I 1970'erne huskes han nok især for de store gennemgående roller i serierne Olsenbanden og Familien Gyldenkål. I Olsen-Bande-filmene slog han sin rolle fast som Kriminalassistent Jensen i sit evigt brun-ternede jakkesæt med dertil hørende hat. Den rutinerede kriminalassistent må evig og altid forklare alting for sin lettere grønne underordnede Holm, spillet af Ole Ernst, og han oplever gennem serien af Olsen-banden-film både at blive forfremmet til Kriminalassistent af 1. Grad, at modtage Ridderkorset, for sidenhen at blive degraderet til Motorkontorets Afdeling for Kasserede Nummerplader, og endelig til slut blive afskediget og sendt på førtidspension.
Mest kendt er han for sin medvirken i Matador-serien i 1970'- og 80'erne som sagfører Viggo Skjold Hansen. Som den maniske og lettere selvglade sagfører, der er gift med den knapt så fine men dog yderst underholdende Musse, oplever han at få sat Mads Skjern under alvorligt pres og blive forfulgt som værnemager pga. sit samarbejde med den tyske besættelsesmagt, og endelig bliver han totalt forvandlet i de sidste af seriens afsnit, da Modstandsbevægelsen anholder ham.
Han var gift første gang med skuespilleren Kirsten Jessen, og levede derefter sammen med skuespilleren Lone Hertz 1962-75, med hvem han fik børnene Tomas (født 1966 - død 2024) og Michaëla (1968). I 1978 blev han gift med skuespilleren Hanne Borchsenius, et ægteskab, der varede til hans død.
