Cosinusrelation

Cosinusrelationer er trigonometriske formler der bestemmer cosinus til vinklerne i en trekant hvori man kender sidernes længder. Kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C skrives formlerne således:^[1]

${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}}$

${\displaystyle \cos B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}}}$

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2\cdot a\cdot b}}}$

For bestemmelse af sider kan denne omskrivning anvendes:

${\displaystyle {a^{2}}={b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos A}}$

${\displaystyle {b^{2}}={a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos B}}$

${\displaystyle {c^{2}}={a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos C}}$

Bemærk at cosinusrelationen gælder for alle trekanter, ikke kun retvinklede trekanter. På grund af lighed med Pythagoras' læresætning kaldes cosinusrelationen også den udvidede Pythagoras.

Ved anvendelse af cosinusrelationerne vil man i én af ovenstående ligninger isolere enten en side eller en vinkel. Løser man ligningen med hensyn til en vinkel, er der i princippet uendeligt mange løsninger. Da en vinkel i en trekant altid er mellem 0° og 180° vælger vi den såkaldt principale løsning.

Cosinusrelationen kaldes også den udvidede Pythagoræiske læresætning. Hvis ${\displaystyle C}$ ovenfor er en ret vinkel gælder ${\displaystyle C=90^{\circ }}$. Da ${\displaystyle \cos(90^{\circ })=0}$ reduceres cosinusrelationen netop i dette tilfælde til Pythagorases læresætning ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

For at bevise cosinusrelationerne tegner man en trekant, som man deler op i to trekanter (for at få rette vinkler at regne med). Linjen fra vinklen A til siden a = højden (h).

Bevis for cosinusrelationen b² = c² + a² – 2a ${\displaystyle \cdot }$ c ${\displaystyle \cdot }$ cos(B) hvis vinkel B er spids:

Med pythagoras får man af den grå trekant: (a – x)² + h² = b² ⇔ h² = b² – (a – x)².

Og tilsvarende af den anden trekant: h² + x² = c² ⇔ h² = c² – x².

Nu er h² isoleret i hver af disse ligninger. De kan derfor sættes lig hinanden:

b² – (a – x)² = c² – x².

Nu skal b² isoleres, derfor får man: b² = c² – x² + (a – x)².

Parenteserne i denne ligning udregnes: b² = c² – x² + a² – 2ax + x².

Dette reduceres til: b² = c² + a² – 2ax.

Vinkel B (i den hvide retvinklede trekant) kan udregnes af: cos(B) = x / c Ved at isolere x i denne ligning får man: x = cos(B) · c.

Da x = cos(B) · c kan man i ligningen b² = c² + a² – 2ax fra før, erstatte x'et med cos(B) · c.

Dvs. b² = c² + a² – 2ax ⇔ b² = c² + a² – 2a · c · cos(B).

Q.E.D

Nu er beviset færdigt.

De andre former af cosinusrelationen bevises på tilsvarende måde.

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder gælder andre formler som også hedder cosinusrelationerne. De sfæriske cosinusrelationer er:^[2]

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A}$

${\displaystyle \cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C}$

• Trekant
• Trekanttilfælde
  • Retvinklet trekant
• Sinusrelationen
• Sfærisk trigonometri

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3
• Schultz, Jonny (1990): Matematik højniveau 1 - plangeometri og rumgeometri. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-16-7

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.