Ordnet legeme

Et ordnet legeme er et legeme ${\displaystyle (L,+,\cdot )}$, hvor der eksisterer en delmængde ${\displaystyle L_{+}\subseteq L}$ ("mængden af positive elementer"), så at de to følgende krav er opfyldt:

• Mængden ${\displaystyle L_{+}}$ er lukket under addition ${\displaystyle +}$ og multiplikation ${\displaystyle \cdot }$:
  • ${\displaystyle \forall x,y\in L_{+}:x+y\in L_{+}}$
  • ${\displaystyle \forall x,y\in L_{+}:x\cdot y\in L_{+}}$
• For et vilkårligt element ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle L}$ gælder netop ét af følgende udsagn (dette kaldes trikotomiloven):
  • ${\displaystyle x\in L_{+}}$
  • ${\displaystyle x=0}$
  • ${\displaystyle -x\in L_{+}}$

Man kan herefter også definere eksempelvis mængden af negative elementer: ${\displaystyle L_{-}:=L\setminus (L_{+}\cup \{0\})}$, og udlede nogle regneregler for eksempelvis addition og multiplikation af negative elementer.

Hvis man nu definerer relationen ${\displaystyle \leq }$ ved

${\displaystyle x\leq y{\stackrel {def.}{\Leftrightarrow }}y-x\in L_{+}}$,

får man en total ordning på ${\displaystyle L}$. Det ses altså, at der er en nær forbindelse mellem opdeling i positive og negative elementer (og 0) og så, at finde en total ordning på en mængde.

Eksempler på ordnede legemer er de rationale tal og de reelle tal, hvor det umiddelbart er forståeligt, hvad de positive og negative elementer er.