Ortonormal

I matematikken siger man, at to vektorer er ortonormale, hvis det er ortogonale enhedsvektorer.

I planet R² og rummet R³ er det indre produkt typisk underforstået at være prikproduktet, så her kaldes to vektorer v og w ortonormale, hvis

• ${\displaystyle \Vert \mathbf {v} \Vert ={\sqrt {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}=1}$ og ${\displaystyle \Vert \mathbf {w} \Vert =1}$,
• ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =0}$.

Helt generelt kaldes to vektorer v, w i et indre produkt-rum V ortonormale, hvis

• ${\displaystyle \Vert \mathbf {v} \Vert ={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}=1}$ og ${\displaystyle \Vert \mathbf {w} \Vert =1}$,
• ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0}$.

Her kan første betingelse udskiftes af den ækvivalente betingelse <v, v> = <w, w> = 1.

Hvis B = {v₁, v₂, ..., v_n} er en basis for et indre produkt-rum V, kaldes B en ortonormalbasis (evt. en ortonormal basis), hvis alle vektorene i B er indbyrdes ortonormale. Dvs. <v_i, v_i> = 1 for alle i, og <v_i, v_j> = 0 for alle i ≠ j. Eller endnu kortere: <v_i, v_j> = δ_ij, hvor δ_ij er Kroneckers deltafunktion.

Som et eksempel på en ortonormalbasis kan nævnes enhedsvektorerne i, j og k i rummet R³, mht. prikproduktet.