Stambrøk

En stambrøk er en brøk hvor tælleren er 1 og nævneren er et positivt heltal. For eksempel er 1/2, 1/3 og 1/12 stambrøker. Når man opdeler noget i lige store stykker, vil stykkerne alle være en stambrøkdel af helheden.^[1]

Multiplikation af 2 stambrøker vil altid resultere i en stambrøk:^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{a}}\times {\frac {1}{b}}={\frac {1}{ab}}}$.

Men addition og subtraktion af to stambrøker vil ikke nødvendigvis resultere i en stambrøk:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{a}}\pm {\frac {1}{b}}={\frac {b\pm a}{ab}}}$.

Det samme kan siges om division:

${\displaystyle {\frac {1}{a}}\div {\frac {1}{b}}={\frac {b}{a}}}$.

Til gengæld viser denne ligning, at ethvert rationelt tal kan udtrykkes som en kvotient af to stambrøker.

Enhver positiv brøk med heltallig tæller og nævner kan skrives som en sum af stambrøker. For eksempel er

${\displaystyle {\frac {13}{15}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{30}}}$.

Det var derfor muligt for oldtidens egyptere næsten udelukkende at bruge stambrøker i deres brøkregning. Udover stambrøker brugte de kun brøken 2/3.^[3][4] En endelig sum af stambrøker kaldes af denne årsag for en egyptisk brøk.^[4][5]

Stambrøker bruges også i uendelige rækker. For eksempel er den harmoniske række defineret som summen af alle stambrøker:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$.

Denne række er divergent med sum uendelig.^[6]

Per definition er alle stambrøker rationale tal, da de alle er på formen

${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$,

hvor ${\displaystyle n}$ er et positivt heltal.^[7]

Ud fra dette ses, at en stambrøk er reciprok til dens nævner.