Tællemålet

Der er ingen kildehenvisninger i denne artikel, hvilket er et problem. Du kan hjælpe ved at angive kilder til de påstande, der fremføres. Hvis ikke der tilføjes kilder, vil artiklen muligvis blive slettet (september 2011) (Lær hvordan og hvornår man kan fjerne denne skabelonbesked)

I matematik er tællemålet en intuitiv måde at måle en mængde: "Størrelsen" eller "målet" af en delmængde tages til at være antallet af delmængdens elementer, hvis dette er endeligt, og ∞ hvis delmængden indeholder uendeligt mange elementer.

Formelt fremkommer tællemålet ved betragtning af en mængde Ω sammen med σ-algebraen P(Ω) bestående af alle delmængder af Ω. Betegnes tællemålet μ defineres nu, for A i P(Ω), μ(A) = #(A) = antal elementer i A. Herved bliver (Ω,P(Ω),μ) et målrum. Målet kan vises at være endeligt hhv. σ-endeligt, Ω er en endelig hhv. højst tællelig mængde.

Tællemålet tillader en at oversætte mange resultater om generelle L^p-rum, såsom Cauchy-Schwarz' ulighed, Hölders ulighed eller Minkowskis ulighed, til mere velbevandrede rammer. Hvis Ω = {1,...,n}, og S = (Ω, P(Ω), μ) er målrummet med tællemålet μ på P(Ω), så er L^p(S) blot det samme rum som Rⁿ (eller Cⁿ) med norm defineret ved

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

for x = (x₁, ..., x_n) i rummet. Ved på et endeligt rum at dividere tællemålet med antallet af elementer i P(Ω) opnås den diskrete uniforme fordeling.

Hvis tilsvarende fås, hvis Ω tages til at være de naturlige tal, og S som før er målrummet med tællemålet, at L^p(S) er rummet af alle følger x = (x_n) for hvilke

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

er endelig. Dette rum betegnes ofte ${\displaystyle \ell ^{p}}$.

Tællemålet på tællelige mængder kan også bruges til at anvende resultater fra Lebesgueintegralteorien (såsom sætningen om monoton konvergens, Fatous lemma, sætningen om domineret konvergens, Fubinis sætning, osv.) på rækker.