Unitær matrix

I lineær algebra er en unitær matrix en n gange n kompleks matrix U, der opfylder

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n},}$

hvor ${\displaystyle I_{n}}$ er identitetsmatricen og ${\displaystyle U^{*}}$ er den Hermitisk adjungerede (også kaldet den konjugerede transponerede) af U. Kravet siger, at en matrix U er unitær, hvis den har en invers, der er lig med den Hermitisk adjungerede ${\displaystyle U^{*}}$.

En unitær matrix i hvilken alle indgange er reelle er det samme som en ortogonalmatrix. Præcis som en ortogonalmatrix G bevarer det (reelle) indre produkt af to reelle vektorer,

${\displaystyle \langle Gx,Gy\rangle =\langle x,y\rangle ,}$

opfylder en unitær matrix U, at

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle }$

for alle komplekse vektorer x og y, hvor <.,.> nu er det Euklidiske indre produkt på ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Hvis ${\displaystyle A}$ er en n gange n-matrix er følgende udsagn ækvivalente:

1. ${\displaystyle A}$ er unitær.
2. ${\displaystyle A^{*}}$ er unitær.
3. Søjlerne i ${\displaystyle A}$ danner en ortonomalbasis for ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ med hensyn til det Euklidiske indre produkt.
4. ${\displaystyle A}$ er en isometri med hensyn til normen fra dette indre produkt.

Det følger af isometriegenskaben, at alle egenværdier af en unitær matrix er komplekse tal med absolut værdi 1 (de ligger på enhedscirklen med centrum 0 i det komplekse plan.) Det samme gælder determinanten.

Alle unitære matricer er normale, og spektralsætningen gælder derfor for dem. Det vil sige, at enhver unitær matrix U kan skrives på formen

${\displaystyle U=V\Sigma V^{*}}$,

hvor ${\displaystyle V}$ er unitær og ${\displaystyle \Sigma }$ er unitær og en diagonalmatrix.

For ethvert n, danner mængden af alle n gange n unitære matricer med matrixmultiplikation en gruppe.