Sergei Bobrowski begann seine Karriere als Eishockeyspieler beim Metallurg Nowokusnezk. Zuvor war er bereits im Jugendbereich für den Verein aktiv gewesen. 2010 wurde er von den Adirondack Phantoms verpflichtet.
Am 7. Oktober 2010 debütierte er in der National Hockey League für die Philadelphia Flyers, als er die gesamte Partie durchspielte, seinen ersten Sieg in der NHL feierte und zwei Gegentreffer bei 31 Schüssen auf sein Tor zuließ.
In der Saison 2016/17 stellte Bobrowski mit 41 Siegen einen neuen Franchise-Rekord auf. Es folgten, wie bereits im Jahre 2013, der Gewinn der Vezina Trophy und die Berufung ins NHL First All-Star Team.
Im Juli 2019 verließ Bobrowski die Blue Jackets nach sieben Jahren und schloss sich als Free Agent den Florida Panthers an, bei denen er einen Siebenjahresvertrag unterzeichnete, der ihm ein durchschnittliches Jahresgehalt von zehn Millionen US-Dollar einbringen soll. Damit bezog er zum Zeitpunkt der Unterzeichnung nach Carey Price das zweithöchste Gehalt eines Torhüters in der NHL.
Zu Beginn der Saison 2021/22 erreichte er im Trikot der Panthers den Meilenstein von 300 Siegen in der NHL. Die Spielzeit beendete er mit 39 Siegen, was einen neuen Franchise-Rekorde bei den Panthers darstellte, den zuvor Roberto Luongo (35) innehatte. In den Playoffs 2023 erreichte er mit Florida das Endspiel um den Stanley Cup, unterlag dort allerdings den Vegas Golden Knights mit 1:4. In den folgenden Playoffs 2024 zog er mit dem Team erneut ins Finale ein und errang mit einem 4:3-Erfolg über die Edmonton Oilers nun auch den ersten Stanley Cup der Franchise-Geschichte.
International
Für Russland nahm Bobrowski an der U20-Junioren-Weltmeisterschaft 2008 teil, bei der er mit seiner Mannschaft die Bronzemedaille gewann. Daneben stand er im Kader bei den Super Series 2007. Bei der Herren-Weltmeisterschaft 2014 gewann er mit der Sbornaja die Goldmedaille und wurde als bester Torhüter ausgezeichnet. Im Jahr darauf erreichte er mit der Mannschaft erneut das Finale, scheiterte jedoch an der kanadischen Auswahl und gewann somit die Silbermedaille. Außerdem vertrat er sein Heimatland beim World Cup of Hockey 2016.
(Legende zur Torhüterstatistik: GP oder Sp = Spiele insgesamt; W oder S = Siege; L oder N = Niederlagen; T oder U oder OT = Unentschieden oder Overtime- bzw. Shootout-Niederlage; Min. = Minuten; SOG oder SaT = Schüsse aufs Tor; GA oder GT = Gegentore; SO = Shutouts; GAA oder GTS = Gegentorschnitt; Sv% oder SVS% = Fangquote; EN = Empty Net Goal; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)