Εκθετική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, η εκθετική συνάρτηση είναι η συνάρτηση με τύπο ${\displaystyle y=e^{x}}$, όπου e είναι ο αριθμός Όιλερ (άρρητος αριθμός, περίπου ίσος με 2.718281828) για την οποία ισχύει ότι είναι ίση με την παράγωγό της.^[1][2] Η εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται για να εκφράσει μια σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, σύμφωνα με την οποία μια σταθερή αύξηση ή μείωση στην ανεξάρτητη μεταβλητή προκαλεί μια επίσης σταθερή ποσοστιαία αύξηση ή μείωση αντίστοιχα στην εξαρτημένη μεταβλητή. Αντί του συμβόλου ${\displaystyle e^{x}}$, συχνά χρησιμοποιείται το σύμβολο ${\displaystyle \exp {x}}$, ειδικά όταν δεν είναι βολικό να γραφεί στον εκθέτη η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η εκθετική συνάρτηση χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική, χημεία, μηχανική, μαθηματική βιολογία, τα οικονομικά και τα μαθηματικά.

Εκθετική συνάρτηση

Τύπος	${\displaystyle e^{x}\,}$
Αντίστροφη	${\displaystyle \ln x\,}$
Παράγωγος	${\displaystyle e^{x}\,}$
Αόριστο ολοκλήρωμα	${\displaystyle e^{x}+C\,}$

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
${\displaystyle \mathbf {y} =f(x)}$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
${\displaystyle \mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση ${\displaystyle y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}$ Ρητή συνάρτηση ${\displaystyle y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}}$ Άρρητη συνάρτηση ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση ${\displaystyle y=a^{x}}$ Λογαριθμική συνάρτηση ${\displaystyle y=\log _{a}(x)}$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο ${\displaystyle y=\sin x}$ Συνημίτονο ${\displaystyle y=\cos x}$ Εφαπτομένη ${\displaystyle y=\tan x}$

Η γραφική παράσταση της ${\displaystyle y=e^{x}}$ έχει θετική κλίση,, η οποία και αυξάνεται όλο και περισσότερο όσο το ${\displaystyle x}$ παίρνει ολοένα και μεγαλύτερες τιμές. Η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα των x και πλησιάζει σ’ αυτόν ασυμπτωτικά όταν το ${\displaystyle x}$ απειρίζεται αρνητικά, δηλαδή ο άξονας των x είναι οριζόντια ασύμπτωτη της καμπύλης. Η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε κάθε σημείο της, είναι ίση με την τεταγμένη ${\displaystyle y}$ του σημείου αυτού. Η συνάρτηση ${\displaystyle y=e^{x}}$ είναι αντιστρέψιμη και η αντίστροφη συνάρτηση είναι ο φυσικός λογάριθμος ${\displaystyle \ln {x}}$ . Λόγω αυτού, κάποια παλιά κείμενα ^[3] αναφέρονται στην εκθετική συνάρτηση ως αντιλογάριθμο.

Μερικές φορές ο όρος "εκθετική συνάρτηση" χρησιμοποιείται γενικότερα για συναρτήσεις της μορφής ${\displaystyle c\cdot b^{x}}$, όπου η βάση ${\displaystyle b}$ είναι οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός, κι όχι απαραίτητα ο αριθμός ${\displaystyle e}$ , ενώ ο ${\displaystyle c}$ είναι σταθερός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. Δείτε την εκθετική επέκταση γι'αυτή τη χρήση της.

Γενικά, η μεταβλητή x μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός, ή ακόμα κι ένα εντελώς διαφορετικού είδους μαθηματικό αντικείμενο. Συμβουλευτείτε τον τυπικό ορισμό παρακάτω.

Πρότυπο:E (μαθηματική σταθερά)

Λέμε ότι εκθετικά αυξάνεται ή μειώνεται ένας πληθυσμός, όταν αυξάνεται ή φθίνει με ρυθμό ανάλογο προς τον ίδιο τον πληθυσμό. Μια τέτοια περίπτωση είναι ο συνεχής ανατοκισμός, ο οποίος και οδήγησε τον Γιακόμπ Μπερνούλι το 1683^[4] στο να ανακαλύψει τον αριθμό:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

σήμερα γνωστό ως ${\displaystyle e}$. Αργότερα, το 1697, ο Γιόχαν Μπερνούλι μελέτησε το λογισμό της εκθετικής συνάρτησης.^[4]

Εάν ένα αρχικό κεφάλαιο μίας χρηματικής μονάδας τοκιστεί με ετήσιο επιτόκιο ${\displaystyle x}$ χρηματικές μονάδες, με τρόπο ώστε ο τόκος να ανακεφαλαιώνεται κάθε μήνα, τότε ο τόκος που καταβάλλεται κάθε μήνα είναι το γινόμενο του αρχικού κεφαλαίου επί τον αριθμό ${\displaystyle x/12}$, δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο κάθε μηνός πολλαπλασιάζεται με ${\displaystyle 1+x/12}$ στο τέλος του μήνα αυτού κι έτσι το συνολικό κεφάλαιο στο τέλος του έτους είναι ${\displaystyle (1+x/12)^{12}}$. Αν όμως, ο τόκος ανακεφαλαιώνεται κάθε ημέρα του έτους, τότε το κεφάλαιο στο τέλος του έτους γίνεται ${\displaystyle (1+x/365)^{365}}$. Επιτρέποντας το πλήθος των ανακεφαλαιοποιήσεων ανά έτος να αυξάνεται χωρίς περιορισμό, οδηγούμαστε στον ακόλουθο ορισμό της εκθετικής συνάρτησης με τη βοήθεια του ορίου συνάρτησης ,

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

αρχικά διατυπωμένο από τον Λέοναρντ Όιλερ.^[5] Αυτός είναι ένας από τους πολλούς ορισμούς της εκθετικής συνάρτησης. Άλλοι χρησιμοποιούν σειρές κι άλλοι διαφορικές εξισώσεις.

Ξεκινώντας από οποιονδήποτε από αυτούς τους ορισμούς, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η εκθετική συνάρτηση ικανοποιεί τη βασική ιδιότητα των δυνάμεων:

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$

η οποία γράφεται πιο απλά ως:

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}$.

Η παράγωγος (ή αλλιώς ρυθμός μεταβολής) της εκθετικής συνάρτησης είναι η ίδια η εκθετική συνάρτηση. Γενικότερα, μια συνάρτηση με ρυθμό μεταβολής ανάλογο με την ίδια τη συνάρτηση (κι όχι απαραίτητα ίσο με αυτή) μπορεί να εκφραστεί εκθετικά. Αυτή η ιδιότητα παρατηρείται σε αυξήσεις και μειώσεις πληθυσμών, που γενικά είναι εκθετικές μεταβολές.

Η επέκταση της εκθετικής συνάρτησης στο μιγαδικό επίπεδο είναι μία ολοκληρωτική συνάρτηση. Ο Τύπος του Όιλερ συνδέει τις τιμές της εκθετικής συνάρτησης με τη φανταστική μονάδα και τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Υπάρχουν ανάλογες γενικεύσεις της εκθετικής συνάρτησης στις περιπτώσεις που η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι πίνακας, ή ακόμα κι ένα στοιχείο της Άλγεβρας Banach ή και μια Άλγεβρα Lie.

Η εκθετική συνάρτηση ${\displaystyle e^{x}}$ μπορεί να οριστεί ισοδύναμα με πολλούς τρόπους. Ειδικότερα, μπορεί να οριστεί από την ακόλουθη δυναμοσειρά:^[6]

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

Αν αναπτυχθεί ως σειρά Taylor καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.

Λιγότερο συχνά, η ${\displaystyle e^{x}}$ ορίζεται ως η λύση ${\displaystyle y}$ της εξίσωσης:

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{dt \over t}}$

Είναι επίσης το ακόλουθο όριο:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

Η μεγάλη σημασία της εκθετικής συνάρτησης στα μαθηματικά, και τις επιστήμες γενικότερα, οφείλεται βασικά στις ιδιότητες της παραγώγου. Πιο συγκεκριμένα,

${\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} x}e^{x}=e^{x}}$

δηλαδή, η ${\displaystyle e^{x}}$ είναι η ίδια η παράγωγός της και συνεπώς είναι είναι ίσως η απλούστερη μη τετριμμένη από τις συναρτήσεις του Pfaff. Σύμφωνα με το Θεώρημα Picard–Lindelöf, οι μόνες συναρτήσεις με αυτήν την ιδιότητα είναι συναρτήσεις της μορφής ce^x , όπου c πραγματική σταθερά. Ισοδύναμες είναι οι ακόλουθες προτάσεις:

• Η κλίση της καμπύλης σε κάθε σημείο είναι ίση με την απόσταση του σημείου αυτού από τον άξονα των x.
• Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στο ${\displaystyle x}$ είναι ίσος με την τιμή της συνάρτησης στο x.
• Η συνάρτηση είναι λύση της διαφορική εξίσωση ${\displaystyle y'=y}$.
• Η εκθετική συνάρτηση είναι αμετάβλητο σημείο αν θεωρήσουμε την παράγωγο ως μετασχηματισμό.

Αν ο ρυθμός αύξησης ή μείωσης μιας μεταβλητής είναι ανάλογος προς μέγεθός της—όπως π.χ. στην περίπτωση της απεριόριστης αύξησης ενός πληθυσμού (βλ. Μαλθουσιανή καταστροφή),του διαρκώς ανακεφαλαιούμενου τόκου ή στην περίπτωση της συνεχούς διάσπασης ενός ραδιενεργού υλικού, τότε η μεταβλητή μπορεί να γραφεί ως γινόμενο μιας σταθεράς επί την εκθετική συνάρτηση του χρόνου. Φυσικά για κάθε πραγματική σταθερά k, μια συνάρτηση ${\displaystyle f:{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$ ικανοποιεί την ${\displaystyle f'=k\cdot f}$ αν και μόνον αν ${\displaystyle f(x)=c\cdot e^{kx}}$ για κάποια σταθερά ${\displaystyle c}$.

Επιπλέον για οποιαδήποτε παραγωγίσιμη συνάρτηση ${\displaystyle y=f(x)}$, βρίσκουμε, από τον κανόνα της αλυσίδας:

${\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} x}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}$

Ένα συνεχές κλάσμα για την ${\displaystyle e^{x}}$ μπορεί να προκύψει από μια ταυτότητα του Όιλερ:

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-{\cfrac {4x}{x+5-{\cfrac {5x}{x+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Η ακόλουθη γενικευμένη συνεχής συνάρτηση για την ${\displaystyle e^{z}}$ συγκλίνει ταχύτερα:^[7]

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+{\cfrac {z^{2}}{18+{\cfrac {z^{2}}{22+{\cfrac {z^{2}}{26+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

είτε, αντικαθιστώντας με ${\displaystyle z={\frac {x}{y}}}$ :

${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+{\cfrac {x^{2}}{22y+{\cfrac {x^{2}}{26y+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

Ειδική περίπτωση για ${\displaystyle z=2}$:

${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}}$

Αυτός ο τύπος επίσης συγκλίνει, αν και πιο αργά, για ${\displaystyle z>2}$. Για παράδειγμα:

${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots \,}}}}}}}}}$

Όπως και στους πραγματικούς, η εκθετική συνάρτηση μπορεί να οριστεί και στο μιγαδικό επίπεδο με διάφορους ισοδύναμους τρόπους. Ένας τέτοιος ορισμός προσομοιάζει τον ορισμό δυναμοσειρών πραγματικών αριθμών, όπου η πραγματική μεταβλητή αντικαθίσταται από έναν μιγαδικό αριθμό:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$

Η εκθετική συνάρτηση είναι περιοδική με φανταστική περίοδο ${\displaystyle 2\pi i}$ και μπορεί να γραφεί ως

${\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$

όπου ${\displaystyle a}$ και ${\displaystyle b}$ είναι πραγματικοί αριθμοί και οι συναρτήσεις του δεύτερου μέλους είναι πραγματικές πραγματικής μεταβλητής ^[8] (βλ. επίσης Τύπος του Όιλερ) Αυτός ο τύπος συνδέει την εκθετική συνάρτηση με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις υπερβολικές συναρτήσεις.

Ορισμένη στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, η εκθετική συνάρτηση διατηρεί τις ιδιότητες:

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,}$
• ${\displaystyle e^{0}=1\,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0}$
• ${\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} z}e^{z}=e^{z}}$
• ${\displaystyle \,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} }$

για κάθε ${\displaystyle z}$ και ${\displaystyle w}$.

Η εκθετική συνάρτηση είναι μια ακεραία συνάρτηση καθώς είναι ολόμορφη σε όλο το μιγαδικό επίπεδο. Δέχεται ως τιμή κάθε μιγαδικό αριθμό εκτός του 0. Αυτό είναι ένα παράδειγμα του μικρού θεωρήματος Picard ότι κάθε μη σταθερή ακέραια συνάρτηση δέχεται ως τιμή κάθε μιγαδικό αριθμό, το πολύ ενός εξαιρουμένου.

Επεκτείνοντας το φυσικό λογάριθμο στους μιγαδικούς έχουμε τον μιγαδικό λογάριθμο ${\displaystyle \log {z}}$, που είναι μια συνάρτηση πολλαπλών τιμών.

Στη συνέχεια, μπορούμε να ορίσουμε μια πιο γενικευμένη μορφή «ύψωσης σε δύναμη»:

${\displaystyle z^{w}=e^{w\log z}}$

για κάθε μιγαδικό ${\displaystyle z}$ και ${\displaystyle w}$. Αυτή είναι επίσης συνάρτηση συνάρτηση πολλαπλού τύπου, ακόμα και όταν ο ${\displaystyle z}$ είναι πραγματικός. Αυτή η διαφοροποίηση δημιουργεί πολλαπλά προβλήματα, καθώς οι συναρτήσεις πολλαπλού τύπου ${\displaystyle \log {z}}$ and ${\displaystyle z^{w}}$ συγχέονται εύκολα με τις αντίστοιχες μονοσήμαντες, όταν τεθεί στη θέση του μιγαδικού ένας πραγματικός αριθμός. Για παράδειγμα, η ιδιότητα που αναφέρει την ύψωση δύναμης σε άλλη δύναμη, στην περίπτωση των θετικών πραγματικών αριθμών πρέπει να τροποποιηθεί σε ένα πλαίσιο πολλαπλών τιμών: δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί η ιδιότητα ως εξής:

${\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{zw}}$, αλλά ${\displaystyle (e^{z})^{w}=e^{(z+2\pi in)w}\,}$ για πολλούς ακέραιους ${\displaystyle n}$.

Η εκθετική συνάρτηση μετασχηματίζει κάθε ευθεία του μιγαδικού επιπέδου σε μια λογαριθμική σπείρα στο μιγαδικό επίπεδο με κέντρο την αρχή των αξόνων. Ίσως θα έπρεπε να τονίσουμε δύο ειδικές περιπτώσεις: α) όταν η αρχική ευθεία είναι παράλληλη προς τον πραγματικό άξονα, τότε η σπείρα που προκύπτει δεν κλείνει στον εαυτό της, β) όταν η αρχική ευθεία είναι παράλληλη στο φανταστικό άξονα, τότε η σπείρα που προκύπτει είναι κύκλος ορισμένης ακτίνας.

• Σχήματα της εκθετικής συνάρτησης στο μιγαδικό επίπεδο
• 
  z = Re(e^x+iy)
• 
  z = Im(e^x+iy)
• 
  z = e^x+iy

Η μιγαδική ύψωση σε δύναμη ${\displaystyle a^{b}}$ μπορεί να οριστεί αντικαθιστώντας το a με πολικές συντεταγμένες και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα ${\displaystyle (e^{\ln {a}})^{b}=a^{b}}$:

${\displaystyle a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{\ln(r)+\theta i}\right)^{b}=e^{(\ln(r)+\theta i)b}}$

Παρολαυτά, όταν ο ${\displaystyle b}$ δεν είναι ακέραιος, αυτή η συνάρτηση γίνεται πολλαπλών τιμών, επειδή το όρισμα ${\displaystyle \theta }$ δεν είναι μοναδικό.

Ο ορισμός της εκθετικής συνάρτησης με τη βοήθεια δυναμοσειρών έχει νόημα στους τετραγωνικούς πίνακες και γενικότερα σε κάθε άλγεβρα Banach Β. Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται εκθετικός πίνακας. Σε αυτή την περίπτωση,η ${\displaystyle e^{0}=1}$, και η ${\displaystyle e^{x}}$ είναι αντιστρέψιμη, με αντίστροφο ${\displaystyle e^{-x}}$ για οποιοδήποτε ${\displaystyle x}$ στη B. Εάν ${\displaystyle xy=yx}$, τότε ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}$, μια ταυτότητα που δεν ισχύει για μη μετατρέψιμα ${\displaystyle x}$ και ${\displaystyle y}$.

Όμως, και άλλοι ορισμοί οδηγούν στην ίδια συνάρτηση. Για παράδειγμα, η ${\displaystyle e^{x}}$ μπορεί να οριστεί ως ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

ή η ${\displaystyle e^{x}}$ ή ως ${\displaystyle f(1)}$, όπου ${\displaystyle f:{\textbf {R}}\rightarrow B}$ είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης ${\displaystyle f'(t)=x\cdot f(t)}$ με αρχική συνθήκη ${\displaystyle f(0)=1}$.

Δοθείσης μιας ομάδας Λάι${\displaystyle G}$ και της αντίστοιχης άλγεβρας Λάι ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ο εκθετικός μετασχηματισμός είναι ένας μετασχηματισμός ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$ που έχει παρόμοιες ιδιότητες. Πράγματι, εφόσον η ${\displaystyle R}$ είναι η Άλγεβρα Λάο της Ομάδας Λάι όλων των θετικών πραγματικών αριθμών με εσωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό, η συνήθης εκθετική συνάρτηση με πραγματικά ορίσματα είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση Άλγεβρας Λάι. Ομοίως, εφόσον η ομάδα Λάι ${\displaystyle GL(n,{\textbf {R}})}$ των αντιστρέψιμων n × n πινάκων έχει ως άλγεβρα Λάι ${\displaystyle M(n,{\textbf {R}})}$, το κενό όλων των ${\displaystyle n\times n}$ πινάκων, η εκθετική συνάρτηση για τετραγωνικούς πίνακες είναι μια ειδική περίπτωση του εκθετικού μετασχηματισμού άλγεβρας Λάι.

Η ταυτότητα ${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$ μπορεί να μην ισχύει για στοιχεία της άλγεβρας Λάι ${\displaystyle x}$ και ${\displaystyle y}$ τα οποία δεν αντιμετατίθενται. Ο τύπος των Μπέικερ–Κάμπελ–Χάουσντορφ παρέχει τους απαραίτητους διορθωτικούς όρους.

Ο όρος διπλά εκθετική συνάρτηση μπορεί να έχει δύο ερμηνείες:

• μια συνάρτηση με δύο εκθετικούς όρους, με διαφορετικούς εκθέτες
• μια συνάρτηση της μορφής ${\displaystyle f(x)=a^{a^{x}}}$. Αυτή αυξάνεται γρηγορότερα από την εκθετική συνάρτηση. Για παράδειγμα, αν ${\displaystyle a=10}$ τότε : ${\displaystyle f(-1)=1.26}$ , ${\displaystyle f(0)=10}$, ${\displaystyle f(1)=10^{10}}$,${\displaystyle f(2)=10^{100}}$= googol, …, ${\displaystyle f(100)}$ = googolplex.

Τα παραγοντικά αυξάνουν γρηγορότερα από τις εκθετικές συναρτήσεις , αλλά πιο αργά από τις διπλά εκθετικές συναρτήσεις. Οι αριθμοί του Φερμά, που παράγονται από την ${\displaystyle \,F(m)=2^{2^{m}}+1}$ και οι διπλοί αριθμοί του Μαρσέν που παράγονται από την ${\displaystyle \,MM(p)=2^{2^{p}-1}-1}$ είναι παραδείγματα διπλά εκθετικών συναρτήσεων.

Η συνάρτηση ${\displaystyle e^{z}}$ δεν είναι μια ${\displaystyle {\textbf {C}}(z)}$ συνάρτηση (δηλαδή, δεν είναι πηλίκο δύο πολυωνύμων με μιγαδικούς συντελεστές) .

Για ${\displaystyle n}$ διαφορετικούς μιγαδικούς αριθμούς ${\displaystyle \{a_{1},...,a_{n}\}}$, το σύνολο ${\displaystyle \{e^{a_{1}z},...,e^{a_{n}z}\}}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο πάνω στο ${\displaystyle {\textbf {C}}(z)}$.

Η συνάρτηση ${\displaystyle e^{z}}$ είναι υπερβατική στο ${\displaystyle {\textbf {C}}(z)}$.

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Exponential function», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e036910 
• Complex exponential function στο PlanetMath.
• Derivative of exponential function στο PlanetMath.
• Derivative of exponential function interactive graph
• Weisstein, Eric W., "Exponential Function" από το MathWorld.
• Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com
• Complex exponential interactive graphic
• Derivative of exp(x^n) by limit definition
• General exponential limit

• Γιάννης Στρατής (1978). «Για την Γ' Τάξη: Η εκθετική συνάρτηση». Ευκλείδης Β΄ (3): 126-130. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3930. 
• Βισκαδουράκης Βασίλειος (1990). «Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση. Μια "φυσική"... προσέγγιση». Ευκλείδης Β΄ (4). http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3402. 
• Παπαδόπουλος Νίκος; Παπαδόπουλος Στάθης (1991). «Εκθετική και Λογαριθμική συνάρτηση». Ευκλείδης Β΄ (4). http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3423. 
• Μπάμπης Τουμάαης (1993). «Πόσο καλά έχουμε κατανοήσει την εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση;». Ευκλείδης Β΄ (4): 53-55. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3607. 

• Rippon, P. J. (Οκτωβρίου 1983). «Infinite exponentials». The Mathematical Gazette 67 (441): 189–196. doi:10.2307/3617180. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1983-10_67_441/page/189. 
• Lowry, H. V. (Φεβρουαρίου 1962). «3001. On the exponential series». The Mathematical Gazette 46 (355): 54–54. doi:10.2307/3613116. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1962-02_46_355/page/54. 
• Walmsley, C. (Μαΐου 1947). «1956. Exponential, logarithmic and circular functions». The Mathematical Gazette 31 (294): 107–108. doi:10.2307/3611370. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1947-05_31_294/page/107. 
• Tuckey, C. O. (Φεβρουαρίου 1945). «1805. Exponential and logarithmic functions». The Mathematical Gazette 29 (283): 23–23. doi:10.2307/3609740. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1945-02_29_283/page/23. 
• Gant, P. (Δεκεμβρίου 1946). «A Treatment of the Exponential and Logarithmic Functions». The Mathematical Gazette 30 (292): 277–281. doi:10.2307/3610733. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1946-12_30_292/page/277. 
• Egan, M. F. (Δεκεμβρίου 1938). «1331. The Exponential, Logarithmic, and Binomial Series for a Complex Variable». The Mathematical Gazette 22 (252): 489–491. doi:10.2307/3607272. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1938-12_22_252/page/489.