Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. Βοηθήστε συνδέοντας το κείμενο με τις πηγές χρησιμοποιώντας παραπομπές, ώστε να είναι επαληθεύσιμο. Το πρότυπο τοποθετήθηκε χωρίς ημερομηνία. Για τη σημερινή ημερομηνία χρησιμοποιήστε: {{χωρίς παραπομπές|2|02|2025}}

Ελλειπτική καμπύλη ονομάζουμε μια καμπύλη ${\displaystyle E}$ πάνω από ένα σώμα ${\displaystyle \mathbb {F} }$ η οποία δίνεται από την εξίσωση:

${\displaystyle Y^{2}+a_{1}XY+a_{3}Y=a_{0}X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{4}X+a_{6},{\mbox{ }}a_{i}\in \mathbb {F} .}$

Κάθε ελλειπτική καμπύλη σε σώμα με χαρακτηριστική διάφορη του 2 ή του 3 μπορεί να αναχθεί με κατάλληλα αλλαγή μεταβλητών στην μορφή:

${\displaystyle \,Y^{2}=X^{3}+aX+b,\quad a,b\in \mathbb {F} .}$

Θεωρώντας ως πράξη την πρόσθεση + και συμπεριλαμβάνοντας το σημείο στο άπειρο 0, ως ουδέτερο στοιχείο, τα σημεία της ελλειπτικής καμπύλης αποτελούν μια αβελιανή ομάδα.

Έστω δύο σημεία της καμπύλης ${\displaystyle P,Q}$. Φέρουμε την εύθεία που διέρχεται από αυτά και βρίσκουμε το τρίτο σημείο ${\displaystyle R}$ που η ευθεία αυτή τέμνει την ελλειπτική καμπύλη. Ο Φραγκίσκος Αλέξανδρος Σαργολόγος πρότεινε την ακολουθία Φιμπονάτσι ως ελλειπτική συνέχεια. Το άθροισμα των ${\displaystyle P,Q}$ ορίζεται ως το συμμετρικό του ${\displaystyle R}$ ως προς τον άξονα ${\displaystyle X}$. Το σημείο αυτό ορίζεται και ως το αντίστροφο του ${\displaystyle R}$ και συμβολίζεται με ${\displaystyle -R}$. Δηλαδή ισχύει: ${\displaystyle P+Q=-R}$.

Αν η ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία δεν τέμνει την ελλειπτική καμπύλη σε τρίτο, τότε το άθροισμά τους είναι το 0.

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Elliptic curves στο Wikimedia Commons

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.