Παράλληλες ευθείες

Στην γεωμετρία, παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινά σημεία.^{[1]:36-38[2]:16[3]:41-43}

Δύο ευθείες ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ που είναι παράλληλες συμβολίζονται ως ${\displaystyle \varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}}$.

• Έστω ${\displaystyle \varepsilon }$ μία ευθεία και ${\displaystyle {\rm {P}}}$ ένα σημείο εξωτερικό αυτής. Υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το ${\displaystyle {\rm {P}}}$ και είναι παράλληλη στην ${\displaystyle \varepsilon }$.
• Αν ${\displaystyle \varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}}$, τότε και ${\displaystyle \varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{1}}$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Αν ${\displaystyle \varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}}$, και επιπλέον ${\displaystyle \varepsilon _{1}\neq \varepsilon _{3}}$, τότε ${\displaystyle \varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{3}}$.
• Για καμία ευθεία ${\displaystyle \varepsilon }$ δεν ισχύει ότι ${\displaystyle \varepsilon \parallel \varepsilon }$ (μη-ανακλαστική ιδιότητα).
• Αν ${\displaystyle \varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{2}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{1}\perp \varepsilon _{3}}$, και επιπλέον ${\displaystyle \varepsilon _{2}\neq \varepsilon _{3}}$ τότε ${\displaystyle \varepsilon _{2}\parallel \varepsilon _{3}}$.
• Αν ${\displaystyle \varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{3}\perp \varepsilon _{1}}$, τότε ${\displaystyle \varepsilon _{3}\perp \varepsilon _{2}}$
• Αν ${\displaystyle \varepsilon _{1}\parallel \varepsilon _{2}}$ και η ${\displaystyle \varepsilon _{3}}$ τέμνει την ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$, τότε τέμνει και την ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$.
• Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Έστω δύο παράλληλες ευθείες ${\displaystyle \delta }$ και ${\displaystyle \varepsilon }$ που τέμνονται από την ευθεία ${\displaystyle \zeta }$ στα σημεία ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}}$. Τότε,

• οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}_{3}={\hat {\rm {B}}}_{1}}$ και ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}_{4}={\hat {\rm {B}}}_{2}}$).
• οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες (${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}_{1}={\hat {\rm {B}}}_{1}}$, ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}_{2}={\hat {\rm {B}}}_{2}}$, ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}_{3}={\hat {\rm {B}}}_{3}}$ και ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}_{4}={\hat {\rm {B}}}_{4}}$)
• οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές (${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}_{3}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}_{1}}$ και ${\displaystyle {\hat {\rm {A}}}_{4}=180^{\circ }-{\hat {\rm {B}}}_{2}}$).

• Δύο ευθείες με εξισώσεις

${\displaystyle y=m_{1}x+c_{1}\quad (\varepsilon _{1})}$,

${\displaystyle y=m_{2}x+c_{2}\quad (\varepsilon _{2})}$,

είναι παράλληλες ανν

${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$ και ${\displaystyle c_{1}\neq c_{2}}$.

• Δύο ευθείες με εξισώσεις

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\quad (\varepsilon _{1})}$,

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0\quad (\varepsilon _{2})}$,

είναι παράλληλες ανν

• ${\displaystyle b_{1}=b_{2}=0}$, ${\displaystyle a_{1},a_{2}\neq 0}$ και ${\displaystyle c_{1}a_{2}\neq c_{2}a_{1}}$, ή
• ${\displaystyle a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1}}$ και ${\displaystyle b_{1},b_{2}\neq 0}$.

Δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\quad (\varepsilon _{1})}$,

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0\quad (\varepsilon _{2})}$,

έχουν απόσταση

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη μία ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και είναι παράλληλη στην ευθεία ${\displaystyle \varepsilon }$ ως εξής:

1. Διαλέγουμε ένα τυχόν σημείο ${\displaystyle {\rm {B}}}$ της ${\displaystyle \varepsilon }$.
2. Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο το ${\displaystyle {\rm {B}}}$ και ακτίνα ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και εντοπίζουμε ένα κοινό του σημείο ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ με την ${\displaystyle \varepsilon }$.
3. Με την ίδια ακτίνα, διαγράφουμε κύκλους με κέντρο το ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$ και ${\displaystyle {\rm {A}}}$, οι οποίοι τέμνονται στο ${\displaystyle {\rm {B}}}$ και σε ένα άλλο σημείο, έστω ${\displaystyle \Delta }$.
4. Η ευθεία που διέρχεται από τα ${\displaystyle {\rm {A\Delta }}}$ είναι η παράλληλος (καθώς το ${\displaystyle {\rm {AB\Gamma \Delta }}}$ είναι ρόμβος).

Το θεώρημα τομής του Θαλή λέει ότι ${\displaystyle {\rm {{\tfrac {\Sigma A}{AB}}={\tfrac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}}$.

• (Θεωρημα Θαλή) Έστω ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ δύο παράλληλες ευθείες, και ${\displaystyle \Sigma }$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το ${\displaystyle \Sigma }$ τέμνουν την ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ στα σημεία ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma }}}$, και την ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ στα ${\displaystyle {\rm {B}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$, ισχύει ότι

${\displaystyle {\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}}$.

Αντίστροφα, ισχύει ότι αν

${\displaystyle {\rm {{\frac {\Sigma A}{AB}}={\frac {\Sigma \Gamma }{\Gamma \Delta }}}}}$,

τότε οι ευθείες ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ και ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ είναι παράλληλες.

• (Παραλληλόγραμμο) Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο.

• (Μεσοπαράλληλη ευθεία) Η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη στις δύο άλλες και ισαπέχει από αυτές.

• Κάθετες ευθείες
• Ασύμβατες ευθείες
• Αξίωμα παραλληλίας