Coordenadas cónicas

Las coordenadas cónicas, a veces llamadas coordenadas esferoconales o esferocónicas,^[1]​ son un sistema de coordenadas tridimensional ortogonal que consta de esferas concéntricas (descritas por su radio r) y por dos familias de conos elípticos perpendiculares entre sí, alineados según los ejes z y x, respectivamente. Las intersecciones entre cada uno de los conos y la esfera forman dos cónicas esféricas.

Las coordenadas cónicas ${\displaystyle (r,\mu ,\nu )}$ están definidas por

${\displaystyle x={\frac {r\mu \nu }{bc}}}$

${\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}}$

${\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}}$

con las siguientes limitaciones en las coordenadas

${\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}$

Las superficies de constante r son esferas de ese radio centradas en el origen

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}$

mientras que las superficies de constantes ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \nu }$ son conos mutuamente perpendiculares

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0}$

y

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0.}$

En este sistema de coordenadas, tanto la ecuación de Laplace como la ecuación de Helmholtz son separables.

El factor de escala para el radio r es uno (h_r= 1), como en las coordenadas esféricas. Los factores de escala para las dos coordenadas cónicas son

${\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}}$

y

${\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.}$

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• Descripción de MathWorld de coordenadas cónicas