En matemáticas, un número perfecto múltiple (también llamado número multiperfecto o número pluscuamperfecto) es una generalización del número perfecto.
Para un número naturalk dado, un número n se llama k-perfecto (o k veces-perfecto) si y solo si la suma de todos los divisores positivos de n (la función divisor, σ(n)) es igual a kn; un número es por lo tanto perfectosi y solo si es 2-perfecto. Un número que es k-perfecto para un cierto k se llama número perfecto múltiple. A partir de 2014, se conocen números k perfectos para cada valor de k hasta 11.[1]
Se desconoce si hay números perfectos múltiples impares que no sean 1. Los primeros números perfectos múltiples son:
Para un número primop dado, si n es p-perfecto y p no divide a n, entonces pn es (p+1)-perfecto. Esto implica que un entero n es un número 3 perfecto divisible por 2, pero no por 4, si y solo si n/2 es un número perfecto impar, de los cuales no se conoce ninguno.
Si 3n es 4k-perfecto y 3 no divide a n, entonces n es 3k-perfecto.
Números perfectos múltiples impares
Se desconoce si existen números perfectos múltiples impares distintos de 1. Sin embargo, si existiese un número nk-perfecto impar para k > 2, entonces debe cumplir las siguientes condiciones:[2]
El factor primo más grande es ≥ 100129
El segundo factor primo más grande es ≥ 1009
El tercer factor primo más grande es ≥ 101
Límites
En notación o-minúscula, el número de números perfectos múltiples menores que x es para todo ε > 0.[2]
El número de números k perfectos n para n ≤ x es menor que , donde c y c' son constantes independientes de k.[2]
Bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann, la siguiente desigualdad es cierta para todos los números k perfectos n, cuando k > 3.
Un número n con σ(n)= 3n es triperfecto. Solo hay seis números triperfectos conocidos y se cree que estos comprenden todos esos números:
120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 (sucesión A005820 en OEIS)
Si existe un número perfecto impar m (un famoso problema abierto) entonces 2m sería 3 perfecto, ya que σ(2m)= σ(2)*σ(m)= 3*2m. Un número triperfecto impar debe ser un número cuadrado superior a 1070 y tener al menos 12 factores primos distintos, el mayor superior a 105.[5]
Variaciones
Números perfectos múltiples unitarios
Se puede hacer una extensión similar para los números perfectos unitarios. Un entero positivo n se denomina número perfectokmúltiple unitario si σ*(n)=kn donde σ*(n) es la suma de sus divisores unitarios (un divisor d de un número n es un divisor unitario si d y n/d no comparten factores comunes).
Un número perfecto múltiple unitario es simplemente un número perfecto k múltiple unitario para algún entero positivo k. De manera equivalente, los números perfectos múltiples unitarios son aquellos n para los cuales n divide a σ*(n). Un número perfecto 2 múltiple unitario se llama naturalmente número perfecto unitario. En el caso k > 2, no se conoce hasta ahora ningún ejemplo de un número perfecto k múltiple unitario. Se sabe que si tal número existe, debe ser par y mayor que 10102 y debe tener más de cuarenta y cuatro factores primos impares. Este problema es probablemente muy difícil de resolver. El concepto de divisor unitario se debió originalmente a R. Vaidyanathaswamy (1931), quien llamó a dicho divisor factor de bloque. La terminología actual se debe a E. Cohen (1960).
Los primeros números perfectos múltiples unitarios son:
Un entero positivo n se denomina número perfectokmúltiple biunitario si σ**(n)= kn donde σ**(n) es la suma de sus divisores unitarios. Este concepto se debe a Peter Hagis (1987). Un número perfecto múltiple biunitario es simplemente un número perfecto k múltiple biunitario para algún entero positivo k. De manera equivalente, los números perfectos múltiples biunitarios son aquellos n para los cuales n divide a σ**(n). Un número perfecto 2 múltiple biunitario se llama naturalmente número perfecto biunitario, y un número perfecto 3 múltiple biunitario se llama número triperfecto biunitario.
Un divisor d de un entero positivo n se denomina divisor biunitario de n si el máximo común divisor unitario (mcud) de d y de n/d es igual a 1. Este concepto se debe a D. Surynarayana (1972). La suma de los divisores bi-unitarios (positivos) de n se denota por σ**(n).
Peter Hagis (1987) demostró que no existen números perfectos múltiples biunitarios impares. Haukken y Sitaramaiah (2020) encontraron todos los números triperfectos biunitarios de la forma 2au, donde 1 ≤ a ≤ 6 y u es impar,[6][7][8] y parcialmente el caso donde a= 7.[9][10] Además, demostraron por completo el caso a= 8.[11]
Los primeros números perfectos múltiples biunitarios son:
Kishore, Masao (1987). «Odd triperfect numbers are divisible by twelve distinct prime factors». Journal of the Australian Mathematical Society, Series A42 (2): 173-182. ISSN0263-6115. Zbl0612.10006. doi:10.1017/s1446788700028184.
Merickel, James G. (1999). «Divisors of Sums of Divisors: 10617». The American Mathematical Monthly106 (7): 693. JSTOR2589515. MR1543520. doi:10.2307/2589515.
Sorli, Ronald M. (2003). Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers (Tesis de PhD). Sydney: University of Technology. hdl:10453/20034.
![{\displaystyle r\left({\sqrt[{r}]{3/2}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{6/k^{2}}}\right),~~{\text{si }}n{\text{ es par}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0be76057c34d9bd66ff4937c9f14ee115e020c1)
![{\displaystyle r\left({\sqrt[{3r}]{k^{2}}}-1\right)<\sum _{i=1}^{r}{\frac {1}{p_{i}}}<r\left(1-{\sqrt[{r}]{8/(k\pi ^{2})}}\right),~~{\text{si }}n{\text{ es impar}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f05d88054afb918e307014464cadb26d3f5acb)
