Teorema de Anderson-Kadec

En matemáticas, en las áreas de la topología y del análisis funcional, el teorema de Anderson-Kadec establece que,^[1]​ dos espacios de Banach separables de dimensión infinita cualesquiera, más generalmente, espacios de Fréchet, son homeomórficos como espacios topológicos. El teorema fue demostrado por Mikhail Kadec (1966) y Richard Davis Anderson.

Todo espacio de Fréchet separable y de dimensión infinita es homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$, el Producto cartesiano de muchas copias numerables de la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Norma de Kadec: Una norma ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ sobre un espacio lineal normado ${\displaystyle X}$ se denomina norma de Kadec con respecto a un subconjunto total ${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$ del espacio dual ${\displaystyle X^{*}}$ si para cada secuencia ${\displaystyle x_{n}\in X}$ se cumple la siguiente condición:

• Si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{*}\left(x_{n}\right)=x^{*}(x_{0})}$ para ${\displaystyle x^{*}\in A}$ y ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}\right\|=\left\|x_{0}\right\|,}$ entonces ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x_{0}\right\|=0.}$

Teorema de Eidelheit: Un espacio de Fréchet ${\displaystyle E}$ es isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Teorema de renormación de Kadec: Todo espacio de Banach separable ${\displaystyle X}$ admite una norma de Kadec con respecto a un subconjunto total contable ${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$ de ${\displaystyle X^{*}.}$ La nueva norma es equivalente a la norma original ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ de ${\displaystyle X}$. El conjunto ${\displaystyle A}$ puede tomarse como cualquier subconjunto contable denso en estrella débil de la bola unitaria de ${\displaystyle X^{*}}$

En el argumento siguiente, ${\displaystyle E}$ denota un espacio de Fréchet separable de dimensión infinita y ${\displaystyle \simeq }$ la relación de equivalencia topológica (existencia de homeomorfismo).

Un punto de partida de la prueba del teorema de Anderson-Kadec es la prueba de Kadec de que cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita es homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$.

A partir del teorema de Eidelheit, basta considerar espacios de Fréchet que no sean isomorfos a un espacio de Banach. En ese caso, tienen un cociente que es isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$. Un resultado de Bartle-Graves-Michael demuestra que entonces:

${\displaystyle E\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

para algún espacio de Fréchet ${\displaystyle Y}$.

Por otro lado, ${\displaystyle E}$ es un subespacio cerrado de un producto infinito contable de espacios de Banach separables ${\textstyle X=\prod _{n=1}^{\infty }X_{i}}$ de espacios de Banach separables. El mismo resultado de Bartle-Graves-Michael aplicado a ${\displaystyle X}$ da un homeomorfismo

${\displaystyle X\simeq E\times Z}$

para algún espacio de Fréchet ${\displaystyle Z.}$ Según el resultado de Kadec, el producto numerable de espacios de Banach separables de dimensión infinita ${\displaystyle X}$ es homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$.

La demostración del teorema de Anderson-Kadec consiste en la secuencia de equivalencias

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }&\simeq (E\times Z)^{\mathbb {N} }\\&\simeq E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\end{aligned}}}$

• Espacio vectorial topológico metrizable

• Bessaga, C.; Pełczyński, A. (1975), Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology, Monografie Matematyczne, Warszawa: Panstwowe wyd. naukowe ..
• Torunczyk, H. (1981), Characterizing Hilbert Space Topology, Fundamenta Mathematicae, pp. 247-262 ..