Teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados

En matemáticas, específicamente en la teoría del análisis funcional y de los espacios de Hilbert, los teoremas de Hahn-Banach de vectores valorados son generalizaciones de los teoremas de Hahn–Banach a partir de funcionales lineales (que siempre se valoran en los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o en los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$) sobre operadores lineales valorados en espacios vectoriales topológicos (EVTs).

En X e Y habrá espacios vectoriales topológicos (EVTs) sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$; y L(X; Y) denotarán el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas de X a Y, donde si X e Y son espacios normados, entonces se dota a L(X; Y) con su norma operatoria canónica.

Si M es un subespacio vectorial de un EVT X, entonces Y tiene la propiedad de extensión de M a X si cada aplicación lineal continua f : M → Y tiene una extensión lineal continua para todo X. Si X e Y son espacios vectoriales normados, entonces se dice que Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X si se puede elegir que esta extensión lineal continua tenga una norma igual a | f |.

Un EVT Y tiene la propiedad de extensión de todos los subespacios de X (a X) si para cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión de M a X. Si X e Y son espacios vectoriales normados, entonces Y tiene la propiedad de extensión métrica de todo el subespacio de X (a X) si para cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X.

Un EVT Y tiene la propiedad de extensión^[1]​ si para cada espacio localmente convexo X y cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión de M a X.

Un espacio de Banach Y tiene la propiedad de extensión métrica^[1]​ si para cada espacio de Banach X y cada subespacio vectorial M de X, Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X.

1-extensiones

Si M es un subespacio vectorial del espacio normado X sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, entonces un espacio normado Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de M a X si para cada x ∉ M, cada aplicación lineal continua f : M → Y tiene una extensión ${\displaystyle F:M\oplus (\mathbb {K} x)\to Y}$ tal que | f | = | F |. Se dice que Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión si Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de M a X para cada espacio de Banach X y cada subespacio vectorial M de X.

Un espacio localmente convexo Y es inyectivo^[1]​ si para cada espacio localmente convexo Z que contiene Y como un subespacio vectorial topológico, existe una proyección continua desde Z hasta Y.

Un espacio de Banach Y es 1-inyectivo^[1]​ o un espacio P₁ si para cada espacio de Banach Z contiene Y como un subespacio vectorial normado (es decir, la norma de Y es idéntica a la restricción habitual a Y de la norma de Z), existe una proyección continua de Z a Y que tiene la norma 1.

Para que un EVT Y tenga la propiedad de extensión, debe ser completo (ya que debe ser posible extender la función identidad ${\displaystyle \mathbf {1} :Y\to Y}$ desde Y hasta la completación Z de Y; es decir, a la aplicación Z → Y).^[1]​

Si f : M → Y es un aplicación lineal continua desde un subespacio vectorial M de X a un espacio de Hausdorff completo Y, entonces siempre existe una extensión lineal continua única de f desde M hasta el cierre de M en X.^[1]​^[2]​ En consecuencia, basta con considerar únicamente aplicaciones de subespacios vectoriales cerrados a espacios completos de Hausdorff.^[1]​

Cualquier espacio localmente convexo que tenga la propiedad de extensión es inyectivo.^[1]​ Si Y es un espacio de Banach inyectivo, entonces para cada espacio de Banach X, cada operador lineal continuo de un subespacio vectorial de X a Y tiene una extensión lineal continua a todo X.^[1]​

En 1953, Alexander Grothendieck demostró que cualquier espacio de Banach con la propiedad de extensión es de dimensión finita, o no es separable.^[1]​

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Productos del cuerpo subyacente

Supóngase que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$, donde ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y sea ${\displaystyle T}$ cualquier conjunto. Sea ${\displaystyle Y:=\mathbb {K} ^{T}}$, que es el producto de ${\displaystyle \mathbb {K} }$ tomado por ${\displaystyle |T|}$, o de manera equivalente, el conjunto de todas las funciones con valores ${\displaystyle \mathbb {K} }$ en T. Confiriendo a ${\displaystyle Y}$ su topología producto habitual, lo que lo convierte en un EVT de Hausdorff localmente convexo. Entonces, ${\displaystyle Y}$ tiene la propiedad de extensión.^[1]​

Para cualquier conjunto ${\displaystyle T}$, el espacio Lp ${\displaystyle \ell ^{\infty }(T)}$ tiene tanto la propiedad de extensión como la propiedad de extensión métrica.

• Extensión lineal continua
• Operador lineal continuo
• Teorema de Hahn–Banach
• Teorema del hiperplano de separación

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834. 
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 (Second edición). New York, NY: McGraw Hill Education. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277. 
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135. 
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.