Cauchy-Schwarzi võrratus

Cauchy^[1]-Schwarzi^[2] võrratus (ka Cauchy-Schwarzi-Bunjakovski^[3] võrratus) on võrratus, mis ütleb, et vektorite skalaarkorrutise moodul pole suurem vektorite pikkuste (normide) korrutisest:

${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|\,,}$

kus ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ja ${\displaystyle \|x\|,\|y\|}$ vastavalt vektorite ${\displaystyle x,y\in V}$ skalaarkorrutis ja pikkused ning V on mõni skalaarkorrutisega vektorruum. Võrratuse asemel on võrdus parajasti siis, kui x ja y on lineaarselt sõltuvad.

• Eukleidilises ruumis ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ kehtib:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}$.

• Ruutintegreeruvate funktsioonide ruumis

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.}$

Vaatame suurust ${\displaystyle \|x+\lambda y\|^{2}}$, kus ${\displaystyle \lambda }$ on suvaline kompleksarv ja x ja y vektorid. Trikk tõestuse juures on moodustada vektor ${\displaystyle x+\lambda y}$ ja arvutada selle vektori pikkus, mis ei saa olla negatiivne:

${\displaystyle \|x+\lambda y\|^{2}=\langle x+\lambda y,x+\lambda y\rangle =\|x\|^{2}+\lambda \langle x,y\rangle +\lambda ^{*}\langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\|y\|^{2}\geq 0\,,}$

Sellest võrratusest saab tuletada Cauchy-Schwarzi võrratuse, kui leiame sobiva ${\displaystyle \lambda }$ väärtuse. Valime ${\displaystyle \lambda }$ väärtuse nii, et vektori ${\displaystyle x+\lambda y}$ pikkus võimalikult väike oleks. Sobivaks ${\displaystyle \lambda }$ väärtuseks osutub

${\displaystyle \lambda =-{\frac {\langle y,x\rangle }{\|y\|^{2}}}.}$

Asendades ${\displaystyle \lambda }$ esimesse võrratusse näeme, et

${\displaystyle \|x+\lambda y\|^{2}=\|x\|^{2}-|\langle x,y\rangle |^{2}\|y\|^{-2}\geq 0\,.}$

Korrutades saadud võrratuse läbi vektori y pikkuse ruuduga ja viies skalaarkorrutise teisele poole võrratuse märki, leiame, et

${\displaystyle \|x\|^{2}\|y\|^{2}\geq |\langle x,y\rangle |^{2}\,,}$

millest ruutjuure võtmine annab Cauchy-Schwarzi võrratuse. Märkigem, et võrdus realiseerub parajasti siis, kui ${\displaystyle \|x+\lambda y\|=0}$, mis tähendab, et x = -${\displaystyle \lambda }$ y ehk x ja y on lineaarselt sõltuvad.

• Hölderi võrratus – Cauchy-Schwarzi võrratuse üldistus

Salman Khan. "LINEAR ALGEBRA » Proof of the Cauchy-Schwarz Inequality, October 09, 2009" (xHTML) (inglise keeles). http://khanexercises.appspot.com/. Khan Academy. Vaadatud 11.02.2011. {{netiviide}}: välislink kohas |Väljaandja= (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents: