Klotoide

Klotoidea arkuko radioide edo Cornuren espiral gisa ezagutzen da Marie Alfred Cornuren ohorez. Kurba hau abzisa ardatzaren jatorriarekiko tangentea da, eta bere kurbaturako erradioa murrizten joaten da bere gainean egindako distantziarekiko alderantziz proportzionalki. Horren ondorio dugu kurbaren jatorrizko puntua erradioa infinitua izatea.

Adierazpen matematiko ohikoena hau da:

${\displaystyle {\rho }\cdot s=C^{2}}$

ρ: kurbaren erradioa

s: garapena edo arkua

C: konstantearen espirala

Cornuren espirala edo klotoide deritzon kurbaren ekuazio parametrikoak S(t) eta C(t)-ren bidez azaltzen dira. Izan ere:

${\displaystyle C'(t)^{2}+S'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1\,}$

Parametrizazio honetan, bektore tangenteak luzera-unitatea du eta t–k (0,0)-tik neurtutako arku luzera adierazte du (ikurra barneratuz). Ondorioz, kurbaren luzera infinitua dela jakin dezakegu.

Cornuren espiralaren propietate gisa du jatorritik neurtutako kurban zeharreko distantziarekiko bere kurbatura edozein puntutan proportzional dela. Propietate honek autobide- edo trenbide-diseinuan trantsizio-kurba moduan erabilgarria izatea eragiten du, aipatutako kurbak abiadura konstantean doan ibilgailu orok azelerazio angeluar konstantea izango baitu. Horrela, esandako kurba akordu planimetrikoetarako erabiltzen da, errepideen eta, bereziki, trenbideen diseinuetan, ibilgailuen azelerazio zentripetuan etenaldiak sahiesteko asmoarekin. Trantsizio-kurbak erradio infinitua du diseinuaren zati zuzenarekiko tangentea den puntuan, eta R erradioa kurba zirkular uniformearekiko tangentea den puntuan. Horrela, errepideetan erabilitako kurba moten artean, ohikoena zuzen-klotoide-zirkular-klotoide-zuzena da.

Era berean, klotoide espiral honetako sekzioak errusiar mendietan erabiliak izaten dira komunki. Horregatik, bira oso batzuei loops “klotoide” bihurgune deritze.

Normalean, bideetako diseinu geometrikoan trazadura bertikaletan erabili ohi dira.

Lehendabiziko trenbideetan bihurguneetan ez zenez oso abiadura handia hartzen eta erradioak handiak zirenez, ez zen kurben eta zuzenen arteko inolako transizioren beharrik. XIX mendetik aurrera, abiadura handitzeek kurbatura gradualki aldatzen duten kurben beharra ekarri zuten. 1862 urtean, Rankinek bazituen erabili zitezkeen zenbait kurba dagoeneko bere “Civil Engieneering” lanean, William Gravatten 1828 edo 1829ko “Sinu kurba” eta William Frouden 1842ko ahokatze-kurba, haien artean, azkeneko hau kurba elastiko baten tankerakoa. Rankinek emandako egungo ekuazioa kurba kubiko batena da, edo 3.mailako polinomiko batena.