توزیع هیپربولیک عمومی

generalised hyperbolic

پارامترها	${\displaystyle \mu }$ محل (حقیقی) ${\displaystyle \lambda }$ (حقیقی) ${\displaystyle \alpha }$ (real) ${\displaystyle \beta }$ پارامتر ناتقارن (حقیقی) ${\displaystyle \delta }$ پارامتر اندازه (حقیقی) ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$
تکیه‌گاه	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
تابع چگالی احتمال	${\displaystyle {\frac {(\gamma /\delta )^{\lambda }}{{\sqrt {2\pi }}K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\;e^{\beta (x-\mu )}\!}$ ${\displaystyle \times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!}$
میانگین	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
واریانس	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
تابع مولد گشتاور	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

توزیع هیپربولیک عمومی یک توزیع احتمال پیوسته از مخلوط نرمال واریانس-میانگین است که به صورت توزیع معکوس گاوس عمومی است.

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )\,}$
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$

1. https://web.archive.org/web/20060913164257/http://etd.lib.fsu.edu/theses/available/etd-10312005-131627/unrestricted/DissertationWenboHu.pdf