۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯

در ریاضیات، سری نامتناهی ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯، یک مثال ابتدایی از سری‌های هندسی است که مطلقاً همگرا هستند. مجموع این سری به صورت زیر می‌باشد:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1}$

به عنوان یک سری نامتناهی، مجموع سری ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }$ به صورت حدی از مجموع ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ جملهٔ اول خواهد بود:

${\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}}$

به شرطی که ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ به بی‌نهایت میل کند. با ضرب ${\displaystyle s_{n}}$ در ۲ خواهیم داشت:

${\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}}$

با حذف کردن ${\displaystyle s_{n}}$ از دو طرف داریم:

${\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}}$

با میل داد ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ به بی‌نهایت، ${\displaystyle s_{n}}$ به ۱ میل خواهد کرد.

این سری به عنوان مثال برای یکی از پارادوکس‌های زنون استفاده می‌شد.^[۱] پیش از این تصور می‌شد چشم حورس شش جملهٔ اول این دنباله را دارد.^[۲]

• ۰٫۹۹۹…

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

این یک مقالهٔ خرد آنالیز ریاضی است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.