Carré parfait

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En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6, ou 9.

Un carré parfait est le carré d'un entier naturel.

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de n × n points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n².

Les 70 plus petits carrés parfaits sont^{[Note 1]} :

02 = 0

52 = 25

102 = 100

152 = 225

202 = 400

252 = 625

302 = 900

352 = 1 225

402 = 1 600

452 = 2 025

502 = 2 500

552 = 3 025

602 = 3 600

652 = 4 225

12 = 1

62 = 36

112 = 121

162 = 256

212 = 441

262 = 676

312 = 961

362 = 1 296

412 = 1 681

462 = 2 116

512 = 2 601

562 = 3 136

612 = 3 721

662 = 4 356

22 = 4

72 = 49

122 = 144

172 = 289

222 = 484

272 = 729

322 = 1 024

372 = 1 369

422 = 1 764

472 = 2 209

522 = 2 704

572 = 3 249

622 = 3 844

672 = 4 489

32 = 9

82 = 64

132 = 169

182 = 324

232 = 529

282 = 784

332 = 1 089

382 = 1 444

432 = 1 849

482 = 2 304

532 = 2 809

582 = 3 364

632 = 3 969

682 = 4 624

42 = 16

92 = 81

142 = 196

192 = 361

242 = 576

292 = 841

342 = 1 156

392 = 1 521

442 = 1 936

492 = 2 401

542 = 2 916

592 = 3 481

642 = 4 096

692 = 4 761

On considère a, b, et c des entiers naturels.

• 1. Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré parfait.

• 2. a ≠ 0 ; a est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.

• 3. ab ≠ 0 ; si ab est un carré parfait et si a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits^[1].
  Ne pas oublier la seconde condition. Par exemple : 12×3 = 6², mais 12 et 3 ne sont pas premiers entre eux ; 12 et 3 ne sont pas des carrés parfaits.

• 4. a ≠ 0 ; a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés parfaits.

• 5. a ≠ 0 ; a est un carré parfait si, et seulement si, le nombre de ses diviseurs est impair.

• 6. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6, ou 9 dans le système décimal.

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 3² + 4² = 5², le plus petit des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent former une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à l'équation a³ + b³ = c³ avec a, b, et c entiers non nuls.

• 7. La représentation du 1-ier nombre carré, 1, est un point. Celle du n-ième, n², s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du (n − 1)-ième carré de points par un « L » de 2n – 1 points, c.-à-d. en lui adjoignant le (n − 1)-ième gnomon :

1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

4 + 5 = 9 = 32

9 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 = 42

• 8. 1 est à la fois le 1-ier nombre carré et le 1-ier nombre impair, et 2n – 1 est le n-ième nombre impair. Donc le n-ième nombre carré égale la somme des n plus petits nombres impairs :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+\dots +(2n-1)=n^{2}.}$

Cette propriété fournit un moyen pratique pour former une table de carrés^[2]. Elle est aussi utilisée comme méthode d'extraction de racine carrée, y compris avec un boulier.

• 9. Le n-ième nombre carré est égal à la somme du n-ième et du (n − 1)-ième nombres triangulaires :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}.}$

• 10. La somme du n-ième et du (n − 1)-ième nombres carrés égale le n-ième nombre carré centré.

• 11. La somme des n plus petits nombres carrés est égale au n-ième nombre pyramidal carré :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}.}$

• 12. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}}$ est un carré parfait. Plus précisément :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}.}$

• 2. Si a ≠ 0 est un carré parfait, alors il existe un entier m > 0 tel que a = m². En notant ${\displaystyle m={p_{1}}^{k_{1}}\dots {p_{r}}^{k_{r}}}$ la décomposition de ${\displaystyle m}$ en produit de facteurs premiers, on déduit : ${\displaystyle a={p_{1}}^{2k_{1}}\dots {p_{r}}^{2k_{r}},}$ donc tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs.

Réciproquement : si tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs, alors a est de la forme ${\displaystyle {p_{1}}^{2k_{1}}\dots {p_{r}}^{2k_{r}}=\left({p_{1}}^{k_{1}}\dots {p_{r}}^{k_{r}}\right)^{2}.}$

• 3. Supposons que pgcd(a, b) = 1 et que ab = n² où ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Notons c = pgcd(a, n). On a :

${\displaystyle a=a\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)=\operatorname {pgcd} \left(a^{2},ab\right)=\operatorname {pgcd} \left(a^{2},n^{2}\right)=c^{2}\operatorname {pgcd} \left(\left(a/c\right)^{2},\left(n/c\right)^{2}\right)=c^{2}.}$

De même, notons d = pgcd(b, n). On a :

b = d².

• 4. Il suffit de remarquer que ${\displaystyle a^{2}<a\left(a+1\right)<a\left(a+2\right)<\left(a+1\right)^{2}.}$

• 5. Par la propriété 3, a est un carré parfait si et seulement si les exposants j_p dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont tous pairs, ce qui équivaut à l'imparité du produit ${\displaystyle \prod \left(j_{p}+1\right).}$ Or ce produit est le nombre de diviseurs de a.

• 6. Cf. « Résidus quadratiques modulo 10 ».

• 12. Cf. « Somme des n premiers cubes ».

On dit qu'un entier q est un résidu quadratique modulo un entier m s'il existe un entier n tel que :

${\displaystyle q\equiv {n^{2}}{\bmod {m}}}$.

Ce concept permet notamment de démontrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation ${\displaystyle n^{2}=4k+2}$ n'admet pas de solution dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.

On peut calculer mentalement les carrés des nombres entiers s'écrivant avec deux (voire trois) chiffres en notation décimale assez facilement^[3]. Soit un nombre x s'écrivant ${\displaystyle 10a+b}$, avec b un chiffre non nul. On obtient son carré facilement en calculant de la façon suivante :

• ${\displaystyle x^{2}=(x+b)\times a\times 10+b^{2}}$ si b est compris entre 1 et 4,
• ${\displaystyle x^{2}=a(a+1)\times 100+25}$ si b est égal à 5,
• ${\displaystyle x^{2}=(x-b')\times (a+1)\times 10+b'^{2}}$ si b est compris entre 6 et 9, avec ${\displaystyle b'=10-b}$.

Cela réduit la difficulté du calcul au produit d'un nombre de deux chiffres par un nombre réduit à un chiffre, et à l'élévation au carré des nombres 1 à 4. Ainsi :

• ${\displaystyle 62^{2}=64\times 6\times 10+2^{2}=3840+4=3844}$
• ${\displaystyle 65^{2}=6\times 7\times 100+25=4200+25=4225}$
• ${\displaystyle 76^{2}=72\times 8\times 10+4^{2}=5760+16=5776}$

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• Arithmétique et théorie des nombres