Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Une intégrale première d'une équation différentielle ordinaire ou d'un système différentiel ${\displaystyle \Phi [t,x(t),{\dot {x}}(t),\dots ]=0}$, où ${\displaystyle t}$ est la variable et ${\displaystyle x(t)}$ la fonction inconnue (scalaire ou vectorielle), est une fonctionnelle ${\displaystyle \Psi [t,x(t),{\dot {x}}(t),\dots ]}$ qui reste constante (ne dépend pas de ${\displaystyle t}$) pour toute solution ${\displaystyle x(t)}$ de l'équation ou du système^[1]. Quand ${\displaystyle x(t)}$ est une coordonnée ou un vecteur position, on parle souvent d'une intégrale première du mouvement.

Le nom d'intégrale première provient du fait qu'on l'obtient en procédant à une première intégration de l'équation ou du système (on passe de l'ordre ${\displaystyle n}$ à l'ordre ${\displaystyle n-1}$).

Pour une équation différentielle d'ordre 1 écrite sous la forme :

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f[t,x(t)]}$,

on montre que ${\displaystyle F[t,x(t)]}$ est une intégrale première si et seulement si c'est une solution de l'équation aux dérivées partielles^[1] :

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}f=0}$.

Quand un point matériel de masse ${\displaystyle m}$ est soumis à une force qui dérive d'un potentiel, son vecteur position ${\displaystyle x(t)}$ est une solution du système différentiel d'ordre 2 :

${\displaystyle m\,{\ddot {x}}(t)=-\nabla U[x(t)]}$,

où ${\displaystyle U[x(t)]}$ désigne le potentiel (l'énergie potentielle) et ${\displaystyle \nabla }$ l'opérateur nabla. On montre que les fonctionnelles ci-dessous sont des intégrales premières du mouvement^[1] :

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}E(x,v)={\frac {1}{2}}m\,v^{2}+U(x)\\M_{1}(x,v)=m\left(x_{2}v_{3}-x_{3}v_{2}\right)\\M_{2}(x,v)=m\left(x_{3}v_{1}-x_{1}v_{3}\right)\\M_{3}(x,v)=m\left(x_{1}v_{2}-x_{2}v_{1}\right)\end{matrix}}\right.}$

où ${\displaystyle v={\dot {x}}}$ désigne le vecteur vitesse. ${\displaystyle E}$ est l'énergie mécanique (somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle) et ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$ les composantes du moment cinétique. Ces quatre grandeurs scalaires restent constantes au cours du mouvement du point matériel.

• Portail de l'analyse