Théorème de la médiane

En géométrie euclidienne, le théorème de la médiane, ou théorème d'Apollonius, ou formules de la médiane, désigne les trois identités suivantes^[1], sur des distances et des produits scalaires, dans un triangle ABC de médiane AI et de hauteur AH :

${\displaystyle {\begin{aligned}AB^{2}+AC^{2}&={\frac {1}{2}}BC^{2}+2AI^{2},\\{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}&=AI^{2}-{\frac {1}{4}}BC^{2},\\\left|AB^{2}-AC^{2}\right|&=2BC\times IH.\end{aligned}}}$

Ce théorème est une reformulation de l'identité du parallélogramme.

Cette propriété est un cas simple de la réduction de la fonction scalaire de Leibniz : il suffit de faire intervenir le point I dans les deux vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$, par la relation de Chasles : ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IB}})^{2}+({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IC}})^{2}.}$ On développe : ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=AI^{2}+IB^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IB}}+AI^{2}+IC^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}.}$ Le point I est milieu de [BC], donc ${\displaystyle {\overrightarrow {IB}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {IC}}}$ sont opposés, ce qui implique que les produits scalaires s'éliminent et IC² = IB² donc ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2AI^{2}+2IB^{2}.}$

Soit H le pied de la hauteur issue de A. Les trois triangles AHB, AHC et AHI sont rectangles en H ; en leur appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

${\displaystyle AB^{2}=AH^{2}+HB^{2},\quad AC^{2}=AH^{2}+HC^{2}\quad {\rm {et}}\quad AI^{2}=AH^{2}+HI^{2}.}$

On en déduit :

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=HB^{2}+HC^{2}+2AH^{2}=HB^{2}+HC^{2}+2(AI^{2}-HI^{2}).}$

On exprime HB et HC en fonction de HI et BI. Quitte à intervertir B et C si nécessaire, on peut toujours supposer que B et H sont du même côté de I. Alors,

${\displaystyle HB=|HI-BI|{\text{ et }}HC=HI+IC=HI+BI.}$

On peut donc transformer, dans l'expression ci-dessus de ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}}$, la sous-expression ${\displaystyle {\begin{aligned}HB^{2}+HC^{2}&=(HI-BI)^{2}+(HI+BI)^{2}\\&=HI^{2}-2HI\cdot BI+BI^{2}+HI^{2}+2HI\cdot BI+BI^{2}\\&=2HI^{2}+2BI^{2}.\end{aligned}}}$

En remplaçant, on obtient : ${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2HI^{2}+2BI^{2}+2(AI^{2}-HI^{2})=2BI^{2}+2AI^{2}.}$

La démonstration ci-dessus par le produit scalaire se généralise, ce qui permet de démontrer :

Soient (ABC) un triangle, J un point de [BC] différent de B, et k = JC / JB. Alors :

${\displaystyle k~AB^{2}+AC^{2}=(k+1)(k~BJ^{2}+AJ^{2}).}$

La démonstration utilise la même décomposition des vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ et ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$ que ci-dessus : ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=({\overrightarrow {AI}}+{\overrightarrow {IB}})\cdot ({\overrightarrow {AI}}-{\overrightarrow {IB}})=AI^{2}-IB^{2}=AI^{2}-(BC/2)^{2}.}$

Il existe un cas particulier relatif au triangle rectangle.

Ce théorème possède une réciproque.

Plus précisément : ${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=2~{\overline {BC}}\cdot {\overline {IH}},}$ où BC et IH désignent des mesures algébriques par rapport à un même vecteur directeur unitaire de la droite (BC). Il suffit d'utiliser le produit scalaire et les identités remarquables : ${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}=2{\overrightarrow {IA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}.}$ La projection de ${\displaystyle {\overrightarrow {IA}}}$ sur (BC) est ${\displaystyle {\overrightarrow {IH}}}$ d'où ${\displaystyle AB^{2}-AC^{2}=2~{\overrightarrow {IH}}\cdot {\overrightarrow {BC}}=2~{\overline {IH}}\cdot {\overline {BC}}.}$

Théorème de Stewart

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