ברגומי תפס את מקומו במרכז ההגנה של אינטר והנבחרת בגיל צעיר: את הבכורה שלו בסריה א עשה ב-22 בפברואר1981, בגיל שבע עשרה. בגביע האיטלקי שיחק עוד קודם לכן. בגיל 18 כבר שיחק עם הנבחרת הלאומית הבוגרת בטורניר הגמר של גביע העולם בכדורגל, ואף זכה בו. כל זאת למרות שבעמדות ההגנה במשחק הכדורגל רבה חשיבותו של הניסיון, ועל כן מאיישים אותן בדרך כלל שחקנים מבוגרים יחסית. עוד בצעירותו גידל שפם, ששיווה לו מראה בוגר מכפי גילו והקנה לו את הכינוי "זיו", שפירושו דוד.
בשנות השמונים והתשעים היה ברגומי דרך קבע שחקן ההרכב הראשון של אינטר. כתוצאה מכך קבע את שיאי ההופעות של שחקן במדי הקבוצה בליגה (519) בגביע האיטלקי (122) ובמסגרות האירופיות (117). ברגומי הוא שיאן ההופעות של גביע אופ"א בכל הזמנים, עם 94 הופעות במפעל[1]. גם בנבחרת הרבה לשחק, פרט לתקופה בת שש שנים בה לא זומן לנבחרת כלל, לאחר שבמשחק במסגרת מוקדמות יורו 1992 נגד נורווגיה הורחק בכרטיס אדום, דקות ספורות לאחר שנכנס כמחליף.
אינטר של אותן השנים לא זכתה להצלחות רבות בזירה המקומית. ברגומי זכה בעשרים עונותיו רק פעם אחת באליפות (1988/1989) ופעם אחת בגביע (1981/1982). אולם בגביע אופ"א זכה עם אינטר שלוש פעמים.
לאחר פרישתו מכדורגל ב-1999, בגיל 36, שימש כפרשן בשידורי הכדורגל בטלוויזיה האיטלקית.